Question

19．设函数f（x）=ka^x-a^-x（a＞0且a≠1，k∈R），f（x）是定义域为R的奇函数．
（1）求k的值．
（2）判断并证明当a＞1时，函数f（x）在R上的单调性；
（3）已知a=3，若f（3x）≥λ•f（x）对于x∈[1，2]时恒成立．请求出最大的整数λ．

Answer 1

分析 （1）根据函数是奇函数建立关系求k的值．
（2）利用定义证明其单调性即可．
（3）利用换元法，将不等式转化为二次函数问题求解．

解答 解：（1）函数f（x）=ka^x-a^-x（a＞0且a≠1，k∈R），f（x）是定义域为R上的奇函数，
∴f（0）=0，
可得：k=1，
∴f（x）=a^x-a^-x，
那么：f（-x）=a^-x-a^x=-f（x），
即f（x）是R上的奇函数．
（2）由题意：设x₂＞x₁，则$f（{x_2}）-f（{x_1}）={a^{x_2}}-\frac{1}{{{a^{x_2}}}}-（{a^{x_1}}-\frac{1}{{{a^{x_1}}}}）=（{a^{x_2}}-{a^{x_1}}）（1+\frac{1}{{{a^{x_2}}{a^{x_1}}}}）$，
∵a＞1，
∴${a^{x_2}}＞{a^{x_1}}$，
∴f（x₂）-f（x₁）＞0，
∴f（x）在R上为增函数；
（3）由题意，a=3，若f（3x）≥λ•f（x），即3^3x-3^-3x≥λ（3^x-3^-x），在x∈[1，2]时恒成立，
令t=3^x-3^-x，x∈[1，2]，
则$t∈[\frac{8}{3}，\frac{80}{9}]$，
故得（3^x-3^-x）（3^2x+1+3^-2x）≥λ（3^x-3^-x），x∈[1，2]恒成立转化为$t（{t^2}+3）≥λ•t，t∈[\frac{8}{3}，\frac{80}{9}]$恒成立，
化简得：λ≤t²+3，$t∈[\frac{8}{3}，\frac{80}{9}]$恒成立，
当$t=\frac{8}{3}$时，${（{t^2}+3）_{min}}=\frac{91}{9}$
∴$λ≤\frac{91}{9}$，
故得λ的最大整数为10．

点评 本题考查了指数函数的计算和函数性质之奇函数的运用，单调性的定义的证明函数单调性问题以及恒成立问题的转化为二次函数问题求解．属于中档题．