Question

4．已知f（x）=ax³，g（x）=9x²+3x-1，当x∈[1，2]时，f（x）≥g（x）恒成立，则a的取值范围是（　　）

• A． a≤$\frac{41}{8}$
• B． a≤11
• C． a≥$\frac{41}{8}$
• D． a≥11

Answer 1

分析 利用函数的恒成立，分离变量求出a的不等式，然后利用函数的导数求解函数的最值即可．

解答 解：f（x）=ax³，g（x）=9x²+3x-1，当x∈[1，2]时，f（x）≥g（x）恒成立，
可得a≥$\frac{9}{x}$+$\frac{3}{{x}^{2}}$-$\frac{1}{{x}^{3}}$，令$\frac{1}{x}$=t，则t∈[$\frac{1}{2}$，1]．
a≥9t+3t²-t³．t∈[$\frac{1}{2}$，1]恒成立，
y=9t+3t²-t³．t∈[$\frac{1}{2}$，1]，可得y′=9-6t-3t²=3[4-（t+1）²]≥0，函数y是增函数，
最大值为：f（1）=11．可得a≥11．
故选：D．

点评 本题考查函数的导数的综合应用，函数的最值，考查转化思想以及计算能力．