Question

10．已知直线l₁：y=x-1与圆C：（x+a）²+y²=a²（a＞0）相交于A、B两点，|AB|=2，直线l₂∥l₁，直线l₂与圆C相交于D、E两点．
（I）求圆C的标准方程；
（Ⅱ）若△CDE为直角三角形，求直线l₂的方程；
（Ⅲ）记直线l₁与x轴的交点为F（如图），若∠CFD=∠CFE，求直线l₂的方程．

Answer 1

分析 （I）求出圆心C到直线l₁的距离，利用勾股定理建立方程，求出圆心坐标，即可求圆C的标准方程；
（Ⅱ）依题意可设直线l₂的方程为x-y+m=0（m≠-1），而由点到直线的距离公式得：${d_2}=\frac{{|{-3+m}|}}{{\sqrt{{1^2}+{{（{-1}）}^2}}}}=\frac{{|{m-3}|}}{{\sqrt{2}}}=\frac{3}{2}\sqrt{2}$，即可求直线l₂的方程；
（Ⅲ）由∠CFD=∠CFE知：k_FD+k_FE=0即有$\frac{y_1}{{{x_2}-1}}+\frac{y_2}{{{x_2}-1}}=0$，利用韦达定理，即可求直线l₂的方程．

解答 解：（I）可知圆C的圆心坐标为（-a，0），半径为r=a
圆心C到直线l₁的距离为${d_1}=\frac{{|{-a-1}|}}{{\sqrt{{1^2}+{{（{-1}）}^2}}}}=\frac{{|{a+1}|}}{{\sqrt{2}}}$
由垂径定理知：${r^2}-{d_1}^2={（{\frac{1}{2}|{AB}|}）^2}$
即有：${a^2}-\frac{{{{（{a+1}）}^2}}}{2}=1$（a＞0）解得：a=3
故所求圆C的标准方程为（x+3）²+y²=9
（II）易知：若△CDE为直角三角形，则∠DCE=90°
又CD=CE=r=3可知△CDE为等腰直角三角形
由垂径定理：圆心C到直线l₂的距离${d_2}=\frac{{\sqrt{2}}}{2}r=\frac{3}{2}\sqrt{2}$
依题意可设直线l₂的方程为x-y+m=0（m≠-1）
而由点到直线的距离公式得：${d_2}=\frac{{|{-3+m}|}}{{\sqrt{{1^2}+{{（{-1}）}^2}}}}=\frac{{|{m-3}|}}{{\sqrt{2}}}=\frac{3}{2}\sqrt{2}$
解得：m=0或m=6故所求直线l₂的方程为x-y=0或x-y+6=0
（III）可知直线l₁与x轴交点F的坐标为（1，0），依题意可设直线l₂的方程为y=x+t
将其与圆的标准方程（x+3）²+y²=9联立整理可得：2x²+（2t+6）x+t²=0
设D、E两点坐标分别为（x₁，y₁），（x₂，y₂）由韦达定理可得：${x_1}+{x_2}=-\frac{2t+6}{2}=-t-3$，${x_1}•{x_2}=\frac{t^2}{2}$
由∠CFD=∠CFE知：k_FD+k_FE=0即有$\frac{y_1}{{{x_2}-1}}+\frac{y_2}{{{x_2}-1}}=0$，
得（x₂-1）y₁+（x₁-1）y₂=（x₂-1）（x₁+t）+（x₁-1）（x₂+t）=2x₁x₂+（t-1）（x₁+x₂）-2t
于是有$2•\frac{t^2}{2}+（{t-1}）（{-t-3}）-2t=0$得$t=\frac{3}{4}$
故所求直线l₂的方程为$y=x+\frac{3}{4}$，即4x-4y+3=0．

点评 本题考查圆的方程，考查直线与圆的位置关系，考查韦达定理的运用，难度大．