Question

20．已知函数g（x）=x²-（2a+1）x+alnx．
（1）当a=1时，求函数g（x）的单调增区间；
（2）求函数g（x）在区间[1，e]上的最值．

Answer 1

分析 （1）求出函数的定义域，求出导函数，令导函数大于0，求出x的范围，写出区间形式即得到函数f（x）的单调增区间．
（2）求出导函数，令导函数为0求出根，通过讨论根与区间[1，e]的关系，判断出函数的单调性，求出函数的最小值．

解答 解：f（x）的定义域为x＞0
（1）将a=1代入f（x）得f（x）=x²-3x+lnx
所以f′（x）=$\frac{2{x}^{2}-3x+1}{x}$
令f′（x）＞0得0＜x＜$\frac{1}{2}$或x＞1
所以函数的单调增区间（0，$\frac{1}{2}$），（1，+∞）；
（2）f′（x）=$\frac{2{x}^{2}-（2a+1）+a}{x}$
令f′（x）=0得x=$\frac{1}{2}$（舍）或x=a，
当a≤1时，在区间[1，e]上，f′（x）＞0
f（x）在区间[1，e]上的单调递增
所以[f（x）]_min=f（1）=-2a；
当1＜a＜e时，f（x）在[1，a]单调递减，在[a，e]上单调递增
所以[f（x）]_min=f（a）=-a²-a+alna；
当a≥e时，f（x）在[1，e]上单调递减
所以[f（x）]_min=f（e）=e²-2ae-e+a．

点评 本题考查了导数和函数的单调性和最值关系，熟练掌握利用导数研究函数的单调性、等价转化、二次函数的性质等是解题的关键，属于中档题．