Question

15．已知函数f（x）=$\frac{1}{3}$x³-（a+2）x²+a（a+4）x+5在区间（-1，2）内单调递减，求a的取值范围．

Answer 1

分析 解法一：求出导函数，通过f′（x）＜0的解为（a，a+4），利用子集关系，转化求解即可．
解法二：求出f′（x），通过f′（x）≤0在区间（-1，2）上恒成立，利用二次函数的性质求解即可．

解答 解法一：f′（x）=x²-2（a+2）x+a（a+4）=（x-a）（x-a-4），…（4分）
f′（x）＜0的解为（a，a+4），…（7分）
∵f（x）在区间（-1，2）内单调递减，
∴（-1，2）⊆（a，a+4），…（10分）
由此得a≤-1且a+4≥2，a的范围是[-2，-1]．…（12分）
解法二：f′（x）=x²-2（a+2）x+a（a+4），…（2分）
∵f（x）在区间（-1，2）内单调递减，
∴f′（x）≤0在区间（-1，2）上恒成立，…（4分）
∵二次函数f′（x）=x²-2（a+2）x+a（a+4）的开口向上，
∴f′（-1）=a²+6a+5≤0且f′（2）=a²-4≤0 …（10分）
解得a的范围是[-2，-1]．…（12分）

点评 本题考查函数的导数的应用，函数恒成立，函数的单调性单调区间的求法，转化思想的应用．