Question

7．若幂函数f（x）的图象经过点A（$\frac{1}{4}$，$\frac{1}{2}$），设它在A点处的切线l，则过点A与l垂直的直线方程为4x+4y-3=0．

Answer 1

分析 利用待定系数法求出函数f（x）的解析式，然后求函数导数，利用导数的几何意义进行求解切线斜率可得垂直直线斜率，由点斜式方程即可得到．

解答 解：设幂函数f（x）=x^α，
∵幂函数f（x）的图象经过点A（$\frac{1}{4}$，$\frac{1}{2}$），
∴f（$\frac{1}{4}$）=（$\frac{1}{4}$）^α=$\frac{1}{2}$，即（$\frac{1}{2}$）^2α=$\frac{1}{2}$，
则2α=1，则α=$\frac{1}{2}$，即f（x）=x${\;}^{\frac{1}{2}}$，
则f′（x）=$\frac{1}{2}$$\frac{1}{\sqrt{x}}$，
则f′（$\frac{1}{4}$）=$\frac{1}{2}$×2=1，
则曲线y=f（x）在A点处的切线方程y-$\frac{1}{2}$=x-$\frac{1}{4}$，
则过点A与l垂直的直线方程为y-$\frac{1}{2}$=-（x-$\frac{1}{4}$），
即4x+4y-3=0．
故答案为：4x+4y-3=0．

点评 本题主要考查函数解析式的求解，以及函数切线方程的求解，利用导数的几何意义和两直线垂直的条件是解决本题的关键．