Question

14．已知函数f（x）=e^2x（e^2x-4a）+x（x-2a）+5a²，若?x₀∈R，使得f（x₀）≤$\frac{1}{5}$成立，则实数a的值为$\frac{2}{5}$．

Answer 1

分析 把函数看作是动点M（x，e^2x）与动点N（a，2a）之间距离的平方，利用导数求出曲线y=e^2x上与直线y=2x平行的切线的切点，得到曲线上点到直线距离的最小值，结合题意可得只有切点到直线距离的平方等于$\frac{1}{5}$，然后由两直线斜率的关系列式求得实数a的值．

解答 解：函数f（x）=e^2x（e^2x-4a）+x（x-2a）+5a²=（e^2x-2a）²+（x-a）²，
函数f（x）可以看作是动点M（x，e^2x）与动点N（a，2a）之间距离的平方，
动点M在函数y=e^2x的图象上，N在直线y=2x的图象上，
问题转化为求直线上的动点到曲线的最小距离，
由y=e^2x得，y'=2e^2x=2，解得x=0，
∴曲线上点M（0，1）到直线y=2x的距离最小，
最小距离d=$\frac{1}{\sqrt{5}}$，
则f（x）≥$\frac{1}{5}$，
根据题意，要使f（x₀）≤$\frac{1}{5}$，
则f（x₀）=$\frac{1}{5}$，此时N恰好为垂足，
由k_MN=$\frac{2a-1}{a}$=-$\frac{1}{2}$，
解得a=$\frac{2}{5}$．
故答案为：$\frac{2}{5}$

点评 本题考查利用导数求曲线上过某点切线的斜率，考查了数形结合和数学转化思想方法，训练了点到直线的距离公式的应用，是中档题．