Question

2．如图所示，在三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，A₁A⊥底面ABC，点A在平面A₁BC中的投影为线段A₁B上的点D．
（1）求证：BC⊥A₁B
（2）点P为AC上一点，若AP=PC，AD=$\sqrt{3}$，AB=BC=2，求二面角P-A₁B-C的平面角的余弦值．

Answer 1

分析 （1）由已知A₁A⊥平面ABC，可得A₁A⊥BC，再由AD⊥平面A₁BC，得AD⊥BC．然后利用线面垂直的判定得BC⊥平面A₁AB，从而得到BC⊥A₁B；
（2）由（1）可得BC⊥平面A₁AB，AB?平面A₁AB，从而BC⊥AB，如图，以点B为原点建立空间直角坐标系B-xyz，求出平面的法向量，利用向量的夹角公式，即可求二面角P-A₁B-C的平面角的余弦值．

解答 （1）证明：如图，∵A₁A⊥平面ABC，BC?平面ABC，
∴A₁A⊥BC，
∵AD⊥平面A₁BC，且BC?平面A₁BC，
∴AD⊥BC．又AA₁?平面A₁AB，
AD?平面A₁AB，A₁A∩AD=A，
∴BC⊥平面A₁AB，
又A₁B?平面A₁BC，
∴BC⊥A₁B；
（2）解：由（1）可得BC⊥平面A₁AB，AB?平面A₁AB，从而BC⊥AB，如图，以点B为原点建立空间直角坐标系B-xyz，
在Rt△ABD中，AD=$\sqrt{3}$，AB=2，sin∠ABD=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，∠ABD=60°，
在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AA₁=2$\sqrt{3}$，
则B（0，0，0），A（0，2，0），P（1，1，0），A₁（0，2，2$\sqrt{3}$），
$\overrightarrow{BP}$=（1，1，0），$\overrightarrow{B{A}_{1}}$=（0，2，2$\sqrt{3}$），$\overrightarrow{BC}$=（2，0，0），
设平面PA₁B的一个法向量为$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），则有$\left\{\begin{array}{l}{x+y=0}\\{2y+2\sqrt{3}z=0}\end{array}\right.$，
可得$\overrightarrow{n}$=（3，-3，$\sqrt{3}$）．
设面A₁BC的一个法向量为$\overrightarrow{m}$=（a，b，c），则$\left\{\begin{array}{l}{a=0}\\{2b+2\sqrt{3}c=0}\end{array}\right.$，
即$\overrightarrow{m}$=（0，-3，$\sqrt{3}$），
则二面角P-A₁B平面角的余弦值为$\frac{9+3}{\sqrt{9+9+3}•\sqrt{9+3}}$=$\frac{2\sqrt{7}}{7}$．

点评 本小题主要考查空间线面关系、二面角的度量等知识，考查数形结合、化归与转化的数学思想方法，以及空间想象能力、推理论证能力和运算求解能力，是中档题．