Question

10．过（4，0）的直线与抛物线y²=4x交于A（x₁y₁），B（x₂，y₂）两点．
（1）求证：x₁x₂，y₁y₂均为定值．
（2）求证：以线段AB为直径的圆经过一定点，并求出该定点的坐标．

Answer 1

分析 （1）过点P（4，0）且斜率为k的直线l的方程为：y=k（x-4）．联立抛物线方程，由韦达定理可得x₁•x₂=16，y₁•y₂=-16，又由直线斜率不存在时，x₁•x₂=16，y₁•y₂=-16也成立，可得结论；
（2）由图形关于x轴对称，得定点在x轴上，设定点坐标为K（m，0），可得m=0，即以线段AB为直径的圆经过必过原点（0，0）．

解答 证明：过点P（4，0）且斜率为k的直线l的方程为：y=k（x-4）．…（3分）
把y=k（x-4）代入y²=4x，消去y得 k²x²-（8k²+4）x+16k²=0，
由于直线与抛物线交于不同两点，
故k²≠0且△＞0，
x₁•x₂=16，而y₁•y₂＜0，
∴y₁•y₂=-16．…（8分）
当过点P（4，0）且斜率不存在时，也满足x₁•x₂=16，y₁•y₂=-16
综上可得：x₁x₂，y₁y₂均为定值．
（2）由图形关于x轴对称，得定点在x轴上，设定点坐标为K（m，0），
①当直线AB的斜率不存在时，设直线AB方程为x=2，
求得A（4，4），B（4，-4），
显然，以AB为直径的圆恒过定点（0，0），（8，0）；
②当直线AB的斜率存在时，设直线AB的方程为y=k（x-4），代入y²=4x：
得k²x²-（8k²+4）x+16k²=0；
设A（x₁，2$\sqrt{{x}_{1}}$），B（x₂，-2$\sqrt{{x}_{2}}$），
由根与系数的关系得，x₁+x₂=$\frac{8{k}^{2}+4}{{k}^{2}}$，x₁x₂=16；
则y₁+y₂=k（x₁+x₂-8）=$\frac{4}{k}$，|AB|=$\frac{4\sqrt{（4{k}^{2}+1）（{k}^{2}+1）}}{{k}^{2}}$，
此时圆心坐标为：（$\frac{4{k}^{2}+2}{{k}^{2}}$，$\frac{2}{k}$），半径r=$\frac{2\sqrt{（4{k}^{2}+1）（{k}^{2}+1）}}{{k}^{2}}$，
此时圆心到原点的距离等于半径，
故以线段AB为直径的圆经过必过原点（0，0）．

点评 本题考查了抛物线的定义域几何性质的应用问题，也考查了直线方程、圆的方程的应用问题，考查了用代数的方法研究圆锥曲线的性质的问题，考查了数形结合的思想与方程的思想，是综合性题目．