Question

12．已知函数f（x）=alnx+x²+bx+1在点（1，f（1））处的切线方程为4x-y-12=0．
（1）求函数f（x）的解析式；
（2）求f（x）的单调区间和极值．

Answer 1

分析 （1）求出函数的导数，计算f′（1），f（1），得到关于a，b的方程组，求出a，b的值，从而求出f（x）的解析式即可；
（2）求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间，从而求出函数的极值即可．

解答 解：（1）求导f′（x）=$\frac{a}{x}$+2x+b，由题意得：
f′（1）=4，f（1）=-8，
则$\left\{\begin{array}{l}{f（1）=b+2=-8}\\{f′（1）=a+b+2=4}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{a=12}\\{b=-10}\end{array}\right.$，
所以f（x）=12lnx+x²-10x+1；
（2）f（x）定义域为（0，+∞），
f′（x）=$\frac{2{（x}^{2}-5x+6）}{x}$，
令f′（x）＞0，解得：x＜2或x＞3，
所以f（x）在（0，2）递增，在（2，3）递减，在（3，+∞）递增，
故f（x）极大值=f（2）=12ln2-15，
f（x）极小值=f（3）=12ln3-20．

点评 本题考查了函数的单调性、极值问题，考查导数的应用，是一道中档题．