Question

17．已知函数f（x）=$\frac{lnx+x+1}{x}$．
（Ⅰ）求函数f（x）的单调区间；
（Ⅱ）若函数F（x）=xf（x）-$\frac{{{x^2}+x+a}}{x}$在[1，e]上是最小值为$\frac{3}{2}$，求a的值；
（Ⅲ）如果当x≥1时，不等式f（x）≥$\frac{a}{x+1}$+1恒成立，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求出导函数，通过导函数的符号，求解函数f（x）的单调区间；
（Ⅱ）化简函数F（x）=xf（x）-$\frac{{{x^2}+x+a}}{x}$，通过当a≥-1时，当a≤-e时，若a∈（-e，-1），求解函数的最值，然后求解a的范围；
（Ⅲ）当x≥1时，分离变量$a≤\frac{（x+1）（1+lnx）}{x}$，构造函数，通过函数的导数，求解函数的最值然后求解实数a的取值范围．

解答 （本小题满分14分）
解：（Ⅰ）∵f（x）=$\frac{lnx+x+1}{x}$，x＞0，故$f'（x）=-\frac{lnx}{x^2}$，
则当x∈（0，1）时，f'（x）＞0，当x∈（1，+∞）时，f'（x）＜0，
故f（x）的单调增区间为（0，1），单调减区间为（1，+∞）．
（Ⅱ）由已知可得$F（x）=xf（x）-\frac{{{x^2}+x+a}}{x}=lnx-\frac{a}{x}$，则可得 $F'（x）=\frac{x+a}{x^2}$，
当a≥-1时，F（x）在[1，e]上单调递增，$F{（x）_{min}}=F（1）=-a=\frac{3}{2}$，∴$a=-\frac{3}{2}∉[-1，+∞）$，舍去；
当a≤-e时，F（x）在[1，e]上单调递减，$F{（x）_{min}}=F（e）=1-\frac{a}{e}=\frac{3}{2}$，∴$a=-\frac{e}{2}∉（-∞，-e]$，舍去；
若a∈（-e，-1），F（x）在（1，-a）单调递减，在（-a，e）单调递增，∴$F{（x）_{min}}=F（{-a}）=ln（{-a}）+1=\frac{3}{2}$，$a=-\sqrt{e}∈（{-e，-1}）$，
综上所述：$a=-\sqrt{e}$．
（Ⅲ）当x≥1时，不等式f（x）≥$\frac{a}{x+1}+1$可化为$a≤\frac{（x+1）（1+lnx）}{x}$，
令$g（x）=\frac{（x+1）（1+lnx）}{x}$，
则当x≥1时，不等式f（x）≥$\frac{a}{x+1}+1$恒成立可化为 a≤g（x）_min，（x≥1），
可求$g'（x）=\frac{x-lnx}{x^2}$，
令h（x）=x-lnx，则$h'（x）=1-\frac{1}{x}≥0$，
故h（x）在[1，+∞）上是增函数，h（x）≥h（1）≥1，
所以$g'（x）=\frac{x-lnx}{x^2}＞0$，$g（x）=\frac{（x+1）（1+lnx）}{x}$在[1，+∞）上是增函数，
所以g（x）_min=g（1）=2，a≤2，
所以实数a的取值范围为（-∞，2]．

点评 本题考查函数的导数的综合应用，函数的单调性以及函数的最值的求法，考查构造法以及转化思想的应用，难度比较大．