Question

8．对任意实数x，矩阵$[\begin{array}{l}{x}&{2+m}\\{3-m}&{3}\end{array}]$总存在特征向量，则m的取值范围是[-2，3]．

Answer 1

分析 由特征多项式知f（λ）=（x-λ）（3-λ）-（2+m）（3-m），总存在特征向量即△≥0恒成立即可求出m范围．

解答 解：由题意知：
f（λ）=（x-λ）（3-λ）-（2+m）（3-m）
=λ²-3（x+3）λ+m²-m-6；
∵总存在特征向量，
∴△=9（x+3）²-4（m²-m-6）≥0；
即：$\frac{9}{4}（x+3）^{2}≥\\;{m}^{2}-m-6=f（m）$ m²-m-6=f（m）；
$[\frac{9}{4}（x+3）^{2}]_{min}$≥f（m）；
0≥f（m）?-2≤m≤3；
故答案为：[-2，3]

点评 本题主要考查了矩阵的特征多项式，以及二次函数的图形特征，属中等题．