Question

13．设函数f（x）=2cos²x+$\sqrt{3}$sin2x．
（1）求函数f（x）的最小正周期和单调递增区间；
（2）求函数f（x）的最小值及x的取值集合．

Answer 1

分析 （1）利用二倍角公式以及两角和与差的三角函数化简函数的解析式，然后求解函数的周期，利用正弦函数的单调性求解单调增区间即可．
（2）利用正弦函数的最值求解函数的最值即可．

解答 解：（1）∵$f（x）=2{cos^2}x+\sqrt{3}sin2x=2sin（{2x+\frac{π}{6}}）+1$…．（2分）
∴$函数f（x）的最小正周期T=\frac{2π}{2}=π$…．（3分）
由2kπ-$\frac{π}{2}$≤2x+$\frac{π}{6}$≤2kπ+$\frac{π}{2}$，
kπ-$\frac{π}{3}$≤x≤kπ+$\frac{π}{6}$，k∈Z
所以函数的单调递增区间是$[{kπ-\frac{π}{3}，kπ+\frac{π}{6}}]（k∈Z）$…（6分）．
（2）函数f（x）=2cos²x+$\sqrt{3}$sin2x=2sin（2x+$\frac{π}{6}$）+1≥-2+1=-1．
函数的最小值为：-1．…8分
当且仅当2x+$\frac{π}{6}$=2kπ$-\frac{π}{2}$，k∈Z时取最小值．
即x=kπ$-\frac{π}{3}$，k∈Z．…10分．

点评 本题考查两角和与差的三角函数，函数的周期的求法，函数的单调性，三角函数的最值的求法，考查计算能力．