Question

18．设方程$\sqrt{3}$tan²πx-4tanπx+$\sqrt{3}$=0在[n-1，n）（n∈N^*）内的所有解之和为a_n．
（Ⅰ）求a₁、a₂的值，并求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）设数列{b_n}满足：b₁=2，b_n+1≥a${\;}_{{b}_{n}}$，求证：$\frac{1}{2{b}_{1}-3}$+$\frac{1}{2{b}_{2}-3}$+…+$\frac{1}{2{b}_{n}-3}$＜2．

Answer 1

分析 （Ⅰ）先解方程得到x=k+$\frac{1}{6}$，或x=k+$\frac{1}{3}$，k∈Z，再分别令n=1，2，即可得到数列{a_n}的通项公式，
（Ⅱ）b_n+1≥a${\;}_{{b}_{n}}$=2b_n-$\frac{3}{2}$，利用放缩法得到b_n+1-$\frac{3}{2}$≥2^n-1，即可得到$\frac{1}{{b}_{n+1}-\frac{3}{2}}$≤$\frac{1}{{2}^{n}}$，求和后再放缩即可证明．

解答 解：（I）由方程$\sqrt{3}$tan²πx-4tanπx+$\sqrt{3}$=0，解得tanπx=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，或tanπx=$\sqrt{3}$．
∴πx=kπ+$\frac{π}{6}$，πx=kπ+$\frac{π}{3}$，k∈Z，
即x=k+$\frac{1}{6}$，或x=k+$\frac{1}{3}$，k∈Z．
当n=1时，区间为[0，1），a₁=$\frac{1}{6}$+$\frac{1}{3}$=$\frac{1}{2}$，
当n=2时，区间为[1，2），a₂=1+$\frac{1}{6}$+1+$\frac{1}{3}$=2+$\frac{1}{2}$=$\frac{5}{2}$，
当x∈[n-1，n），
∴x=$\frac{1}{6}$+（n-1），或x=$\frac{1}{3}$+（n-1），
∴a_n=$\frac{1}{6}$+（n-1）+$\frac{1}{3}$（n-1）=2n-$\frac{3}{2}$；
（II）证明：由（1）得，b_n+1≥a${\;}_{{b}_{n}}$=2b_n-$\frac{3}{2}$，
∴b_n+1-$\frac{3}{2}$≥a${\;}_{{b}_{n}}$=2b_n-$\frac{3}{2}$≥2²（b_n-1-$\frac{3}{2}$）≥…≥2ⁿ（b₁-$\frac{3}{2}$）=2^n-1＞0
∴$\frac{1}{{b}_{n+1}-\frac{3}{2}}$≤$\frac{2}{{2}^{n-1}}$，即$\frac{1}{2{b}_{n+1}-3}$≤$\frac{1}{{2}^{n}}$，
∴$\frac{1}{2{b}_{1}-3}$+$\frac{1}{2{b}_{2}-3}$+…+$\frac{1}{2{b}_{n}-3}$≤1+$\frac{1}{2}$+…+$\frac{1}{{2}^{n-1}}$=$\frac{1×（1-\frac{1}{{2}^{n}}）}{1-\frac{1}{2}}$=2-$\frac{1}{{2}^{n-1}}$＜2．

点评 本题考查了等比数列的定义通项公式、求和公式、放缩法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．