Question

10．设函数f（x）=ax-$\frac{a}{x}$-2lnx．
（Ⅰ）若f（x）在x=2时有极值，求实数a的值和f（x）的极大值；
（Ⅱ）若f（x）在定义域上是减函数，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求f′（x），所以f′（2）=0，这样即可求出a，这样就可求出f′（x），并令f′（x）=0，这样方程的解将区间（0，+∞）划分为几个区间，通过判断f′（x）在这几个区间上的符号，即可找到极大值点，从而求出极大值；
（Ⅱ）求f′（x），所以f′（x）≤0对于x＞0时恒成立，通过讨论a的范围，结合二次函数的性质求出a的范围即可．

解答 解：（Ⅰ）f′（x）=a+$\frac{a}{{x}^{2}}$-$\frac{2}{x}$；
∴f′（2）=a+$\frac{a}{4}$-1=0，解得a=$\frac{4}{5}$；
∴f′（x）=$\frac{4}{5}$+$\frac{4}{{5x}^{2}}$-$\frac{2}{x}$=$\frac{2（x-2）（2x-1）}{{5x}^{2}}$，
x＞0，令f′（x）=0，解得：x=$\frac{1}{2}$，或2；
∴x∈（0，$\frac{1}{2}$）时，f′（x）＞0；x∈（$\frac{1}{2}$，2）时，f′（x）＜0；x∈（2，+∞）时，f′（x）＞0；
∴x=$\frac{1}{2}$时，f（x）取得极大值f（$\frac{1}{2}$）=2ln2-$\frac{6}{5}$；
（Ⅱ）（2）若f（x）在定义域上是增函数，则f′（x）≥0在x＞0时恒成立；
∵f′（x）=$\frac{{ax}^{2}-2x+a}{{x}^{2}}$，
∴需x＞0时ax²-2x+a≤0恒成立；
a=0时，函数y=ax²-2x+a开口向上，
x＞0时，不满足ax²-2x+a＜0恒成立，
a＜0时，函数g（x）=ax²-2x+a的对称轴是x=a＜0，
图象在y轴左侧且g（0）=a＜0，故满足题意，
综上，a≤0．

点评 考查极值的概念，根据极值定义求极值，函数单调性和函数导数符号的关系，是一道中档题．