Question

17．若函数f（x）是定义在R上奇函数，当x＞0时，f（x）=log₃x-3^x，则f（x）的解析式为f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{lo{g}_{3}x-{3}^{x}，}&{x＞0}\\{0}&{x=0}\\{（\frac{1}{3}）^{x}-lo{g}_{3}（-x），}&{x＜0}\end{array}\right.$．

Answer 1

分析 根据函数奇偶性的性质分别求出当x=0和x＜0时的解析式即可．

解答 解：∵函数f（x）是定义在R上奇函数，∴f（0）=0，
若x＜0，则-x＞0，
∵当x＞0时，f（x）=log₃x-3^x，
∴当-x＞0时，f（-x）=log₃（-x）-3^-x=log₃（-x）-（$\frac{1}{3}$）^x，
∵函数f（x）是奇函数，
∴f（-x）=-f（x），即f（-x）=log₃（-x）-（$\frac{1}{3}$）^x=-f（x），
则f（x）=（$\frac{1}{3}$）^x-log₃（-x），x＜0，
综上f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{lo{g}_{3}x-{3}^{x}，}&{x＞0}\\{0}&{x=0}\\{（\frac{1}{3}）^{x}-lo{g}_{3}（-x），}&{x＜0}\end{array}\right.$，
故答案为：f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{lo{g}_{3}x-{3}^{x}，}&{x＞0}\\{0}&{x=0}\\{（\frac{1}{3}）^{x}-lo{g}_{3}（-x），}&{x＜0}\end{array}\right.$

点评 本题主要考查函数解析式的求解，根据函数奇偶性的性质进行转化求解是解决本题的关键．