Question

8．已知椭圆$\frac{x^2}{a^2}$+$\frac{y^2}{b^2}$=1（a＞b＞0）的左、右顶点分别为A₁，A₂．，A₁关于直线bx+ay=0的对称点在圆（x+a）²+y²=a²上，则椭圆的离心率为$\frac{\sqrt{2}}{2}$．

Answer 1

分析 由已知求出椭圆左顶点关于直线bx+ay=0的对称点，代入圆（x+a）²+y²=a²整理得答案．

解答 解：由题意可知，A₁（-a，0），设A₁关于直线bx+ay=0的对称点为（x₀，y₀），
则$\left\{\begin{array}{l}{b•\frac{{x}_{0}-a}{2}+a•\frac{{y}_{0}}{2}=0}\\{\frac{{y}_{0}}{{x}_{0}+a}=\frac{a}{b}}\end{array}\right.$，解得：$\left\{\begin{array}{l}{{x}_{0}=-\frac{a{c}^{2}}{{a}^{2}+{b}^{2}}}\\{{y}_{0}=\frac{2{a}^{2}b}{{a}^{2}+{b}^{2}}}\end{array}\right.$．
代入（x+a）²+y²=a²，得$（a-\frac{a{c}^{2}}{{a}^{2}+{b}^{2}}）^{2}+（\frac{2{a}^{2}b}{{a}^{2}+{b}^{2}}）^{2}={a}^{2}$，
整理得：b⁴+4a²b²=（a²+b²）²，即a²=2b²=2（a²-c²）=2a²-2c²，
∴$e=\frac{\sqrt{2}}{2}$．
故答案为：$\frac{\sqrt{2}}{2}$．

点评 本题考查椭圆的简单性质，考查点关于直线的对称点的求法，考查计算能力，是中档题．