Question

13．已知曲线C的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}x=2+cosθ\\ y=1+sinθ\end{array}\right.$（θ∈[0，π]），且点P（x，y）在曲线C上，则$\frac{y-1}{x}$的取值范围是（　　）

• A． $[{0，\frac{{\sqrt{3}}}{3}}]$
• B． $[{0，\frac{{\sqrt{3}}}{2}}]$
• C． $[{1，\frac{{\sqrt{3}}}{3}}]$
• D． $[{0，\sqrt{3}}]$

Answer 1

分析 将曲线C的参数方程化为普通方程，由参数的范围画出图象，由直线的斜率公式求出式子$\frac{y-1}{x}$的几何意义，利用切线的条件、点到直线的距离公式列出方程求解后，结合图象求出答案．

解答 解：因为曲线C的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}x=2+cosθ\\ y=1+sinθ\end{array}\right.$（θ∈[0，π]），
所以曲线C的普通方程是（x-2）²+（y-1）²=1（y≥1），
如图所示：圆C只取直线PC：y=1的上方，
式子$\frac{y-1}{x}$的几何意义是：圆C上的点与定点（0，1）连线的斜率，
所以式子的取值范围处在直线PC与切线PA之间，
设$\frac{y-1}{x}=k$，则kx-y+1=0，又圆心C（2，1），
所以$\frac{|2k-1+1|}{\sqrt{{k}^{2}+1}}=1$，解得k=$±\frac{\sqrt{3}}{3}$，
则$\frac{y-1}{x}$的取值范围是[0，$\frac{\sqrt{3}}{3}$]，
故选A．

点评 本题考查参数方程与普通方程互化，直线的斜率公式，以及点到直线的距离公式，考查数形结合思想，化简、变形能力．