Question

18．已知函数f（x）=ln（x+2）-x²+mx+n在点x=1处的切线与直线3x+7y+1=0垂直，且f（-1）=0；
（1）求实数m和n的值；
（2）求函数f（x）在区间[0，3]上的最小值．

Answer 1

分析 （1）与直线3x+7y+2=0垂直的直线的斜率为 $\frac{7}{3}$，令f′（1）=$\frac{7}{3}$，得m，又f（-1）=0，求出n；
（2）f′（x）=$\frac{1}{x+2}$-2x+4，由f′（x）=0，得x=$\frac{3\sqrt{2}}{2}$，然后求解极值与端点值，由此能求出以f（x）在[0，3]最小值．

解答 解：（1）与直线3x+7y+2=0垂直的直线的斜率为$\frac{7}{3}$，
令f′（1）=$\frac{7}{3}$，得m=4，
∵f（-1）=ln（2-1）-1-4+n=0，
∴n=5；
（2）f′（x）=$\frac{1}{x+2}$-2x+4，
由f′（x）=0，得x=$\frac{3\sqrt{2}}{2}$，
当x∈[0，$\frac{3\sqrt{2}}{2}$]时，f′（x）≥0，f（x）单调递增；
当x∈（$\frac{3\sqrt{2}}{2}$，3]时，f′（x）≤0，f（x）单调递减．
∵f（0）=ln2+5，f（3）=ln5+8，
所以f（x）在[0，3]最小值为ln2+5．

点评 本题考查利用导数的性质求函数在闭区间上的最小值，解题时要认真审题，仔细解答，注意挖掘题设中的隐含条件，合理地进行等价转化．