Question

10．用数学归纳法证明：1²+3²+5²+…+（2n-1）²=$\frac{1}{3}$n（4n²-1）（n∈N^*）．

Answer 1

分析 用数学归纳法证明：（1）当n=1时，去证明等式成立；（2）假设当n=k时，等时成立，用上归纳假设后，去证明当n=k+1时，等式也成立即可．

解答 证明：①n=1时，左边=1，右边=1，等式成立；
②假设n=k时等式成立，即1²+3²+5²+…+（2k-1）²=$\frac{1}{3}$k（4k²-1），
那么，当n=k+1时，1²+3²+5²+…+（2k-1）²+（2k+1）²
=$\frac{1}{3}$k（4k²-1）+（2k+1）²=$\frac{1}{3}$[4（k+1）³-（k+1）]=$\frac{1}{3}$（k+1）[4（k+1）²-1]，等式成立．
由①②可知1²+3²+5²+…+（2n-1）²=$\frac{1}{3}$n（4n²-1）（n∈N^*）．

点评 本题考查数学归纳法，掌握用数学归纳法的证题步骤与思路，用好归纳假设是关键，考查逻辑推理与证明的能力，属于中档题．