Question

3．已知A，B是椭圆E：$\frac{x^2}{a^2}$+$\frac{y^2}{b^2}$=1（a＞b＞0）的左、右顶点，M是E上不同于A，B的任意一点，若直线AM，BM的斜率之积为-$\frac{4}{9}$，则E的离心率为（　　）

• A． $\frac{{\sqrt{2}}}{3}$
• B． $\frac{{\sqrt{3}}}{3}$
• C． $\frac{2}{3}$
• D． $\frac{{\sqrt{5}}}{3}$

Answer 1

分析 设出M坐标，由直线AM，BM的斜率之积为-$\frac{4}{9}$得一关系式，再由点M在椭圆上变形可得另一关系式，联立后结合隐含条件求得E的离心率．

解答 解：由题意方程可知，A（-a，0），B（a，0），
设M（x₀，y₀），∴${k}_{AM}=\frac{{y}_{0}}{{x}_{0}+a}，{k}_{BM}=\frac{{y}_{0}}{{x}_{0}-a}$，
则$\frac{{y}_{0}}{{x}_{0}+a}•\frac{{y}_{0}}{{x}_{0}-a}=-\frac{4}{9}$，整理得：$\frac{{{y}_{0}}^{2}}{{{x}_{0}}^{2}-{a}^{2}}=-\frac{4}{9}$，①
又$\frac{{{x}_{0}}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{{y}_{0}}^{2}}{{b}^{2}}=1$，得${{y}_{0}}^{2}=\frac{{b}^{2}}{{a}^{2}}（{a}^{2}-{{x}_{0}}^{2}）$，即$\frac{{{y}_{0}}^{2}}{{{x}_{0}}^{2}-{a}^{2}}=-\frac{{b}^{2}}{{a}^{2}}$，②
联立①②，得$-\frac{{b}^{2}}{{a}^{2}}=-\frac{4}{9}$，即$\frac{{a}^{2}-{c}^{2}}{{a}^{2}}=\frac{4}{9}$，解得e=$\frac{\sqrt{5}}{3}$．
故选：D．

点评 本题考查椭圆的简单性质，考查了数学转化思想方法，是中档题．