Question

16．已知函数$f（x）=\frac{lnx}{x}$．
（1）求函数f（x）的单调区间；
（2）设m＞0，求f（x）在[m，2m]上的最大值．

Answer 1

分析 （1）确定函数的定义域，求导函数，由导数的正负明确的函数的单调区间；
（2）分类讨论极值点与区间[m，2m]的位置关系，从而确定函数f（x）在[m，2m]上的单调性，即可求函数的最大值．

解答 解：（1）函数的定义域为（0，+∞）
求导函数，可得f′（x）=$\frac{1-lnx}{{x}^{2}}$，
令f′（x）＞0，而x＞0，可得0＜x＜e，
令f′（x）＜0，可得x＞e，
∴函数f（x）的单调递增区间为（0，e），单调递减区间为（e，+∞）；
（2）①当0＜2m≤e，即0＜m≤$\frac{e}{2}$时，由（1）知，函数f（x）在[m，2m]上单调递增，
∴f（x）_max=f（2m）=$\frac{ln（2m）}{2m}$，
②当m≥e时，由（1）知，函数f（x）在[m，2m]上单调递减，
∴f（x）_max=f（m）=$\frac{lnm}{m}$，
③当m＜e＜2m，即$\frac{e}{2}$＜m＜e时，由（1）知，函数f（x）在[m，e]上单调递增，（e，2m]上单调递减，
∴f（x）_max=f（e）=$\frac{1}{e}$．

点评 本题考查了利用导数研究函数的单调性，利用导数求函数的最值，对于利用导数研究函数的单调性，注意导数的正负对应着函数的单调性．利用导数研究函数问题时，经常会运用分类讨论的数学思想方法．属于中档题．