Question

4．在数列{a_n}中，a₁=1，a_n+1=$\frac{{a}_{n}}{{a}_{n}+1}$．（n∈N^*）
（1）求证：数列{$\frac{1}{{a}_{n}}$}是等差数列，并求数列{a_n}的通项公式；
（2）设b_n=$\frac{1}{{2}^{n}•{a}_{n}}$，求数列{b_n}的前n项和T_n．

Answer 1

分析 （1）由递推数列求数列的通项公式，适当的变形，证明数列{$\frac{1}{{a}_{n}}$}是等差数列，然后求数列{a_n}的通项公式．
（2）利用错位相减法求解数列的和即可．

解答 解：（1）数列{a_n}中，a₁=1，a_n+1=$\frac{{a}_{n}}{{a}_{n}+1}$．可得，a_n+1a_n=a_n-a_n+1，
两边同除以a_na_n+1，得$\frac{1}{{a}_{n+1}}$-$\frac{1}{{a}_{n}}$=1，
所以{$\frac{1}{{a}_{n}}$}是等差数列，公差为1.$\frac{1}{{a}_{n}}$=1+（n-1）•1，
上述n-1个等式累加，
可得a_n=$\frac{1}{n}$．
（2）设b_n=$\frac{1}{{2}^{n}•{a}_{n}}$=$\frac{n}{{2}^{n}}$，∴T_n=$\frac{1}{{2}^{1}}$+$\frac{2}{{2}^{2}}$+$\frac{3}{{2}^{3}}$+…+$\frac{n}{{2}^{n}}$…①
$\frac{1}{2}$T_n=$\frac{1}{{2}^{2}}$+$\frac{2}{{2}^{3}}$+$\frac{3}{{2}^{4}}$+…+$\frac{n-1}{{2}^{n}}$$+\frac{n}{{2}^{n+1}}$，②
①-②，$\frac{1}{2}$T_n=$\frac{1}{2}+\frac{1}{{2}^{2}}$+$\frac{1}{{2}^{3}}$+…+$\frac{1}{{2}^{n}}$$-\frac{1}{{2}^{n+1}}$=$\frac{\frac{1}{2}（1-（\frac{1}{2}）^{n}）}{1-\frac{1}{2}}$-$\frac{1}{{2}^{n+1}}$，
∴T_n=2-$\frac{6}{{2}^{n+1}}$．

点评 本题考查数列的前n项和的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意错位相减求和法的合理运用．解答本题用到的累加法是求数列通项公式以及数列前n项和的重要方法．