Question

12．四棱锥P-ABCD的底面是边长为1的正方形，PA⊥CD，PA=1，PD=$\sqrt{2}$，E，F为PD上两点，且PF=ED=$\frac{1}{3}$PD．
（1）求证：BF∥面ACE；
（2）求异面直线PC与AE所成角的余弦值；
（3）求二面角P-AC-E的余弦值．

Answer 1

分析 （1）连接BD交AC与O，连接OE，可得EO∥BF，进而由线面垂直的判定定理可得：BF∥面ACE；
（2）以A为坐标原点，AB，AD，AP分别为x，y，z轴正方向建立空间坐标系数O-xyz，求出直线PC与AE的方向向量，代入夹角公式，可得异面直线PC与AE所成角的余弦值；
（3）求出平面PAC和ACE的法向量，代入向量夹角公式，可得二面角P-AC-E的余弦值．

解答 证明：（1）连接BD交AC与O，连接OE，

∵PF=ED=$\frac{1}{3}$PD．
∴ED=FE，
∴EO∥BF，
∵EO?面ACE，BF?面ACE；
∴BF∥面ACE；
解：（2）以A为坐标原点，AB，AD，AP分别为x，y，z轴正方向建立空间坐标系数O-xyz，

则B（1，0，0），D（0，1，0），P（0，0，1），C（1，1，0），F（0，$\frac{1}{3}$，$\frac{2}{3}$），E（0，$\frac{2}{3}$，$\frac{1}{3}$），
则$\overrightarrow{CP}$=（-1，-1，1），$\overrightarrow{AE}$=（0，$\frac{2}{3}$，$\frac{1}{3}$），
设异面直线PC与AE所成角为θ，
则cosθ=$\frac{|\overrightarrow{CP}•\overrightarrow{AE}|}{\left|\overrightarrow{CP}\right|•\left|\overrightarrow{AE}\right|}$=$\frac{\sqrt{15}}{15}$，
（3）设平面ACE的法向量$\overrightarrow{m}$=（a，b，c），
由$\left\{\begin{array}{l}\overrightarrow{m}•\overrightarrow{AC}=0\\ \overrightarrow{m}•\overrightarrow{AE}=0\end{array}\right.$得：$\left\{\begin{array}{l}a+b=0\\ \frac{2}{3}b+\frac{1}{3}c=0\end{array}\right.$，
令a=1，则$\overrightarrow{m}$=（1，-1，2），
∵DB⊥平面PAC，
∴$\overrightarrow{DB}$=（1，-1，0）即为平面PAC的一个法向量，
故锐二面角P-AC-E的余弦值cosα=$\frac{|\overrightarrow{m}•\overrightarrow{DB}|}{\left|\overrightarrow{m}\right|•\left|\overrightarrow{DB}\right|}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$

点评 本题考查的知识点是线面平行的判定定理，直线与平面的夹角，二面角的平面角，难度中档．