Question

12．对于在区间[m，n]上有意义的两个函数f（x）与g（x），如果对任意x∈[m，n]均有|f（x）-g（x）|≤1，则称f（x）与g（x）在[m，n]上是接近的；否则称f（x）与g（x）在[m，n]上是非接近的．现有两个函数f₁（x）=log_a（x-3a），与f₂（x）=log_a$\frac{1}{x-a}$（a＞0，a≠1），给定区间[a+2，a+3]．
（1）若f₁（x）与f₁（x）在给定区间[a+2，a+3]上都有意义，求a的取值范围；
（2）讨论f₁（x）与f₁（x）在给定区间[a+2，a+3]上是否是接近的？

Answer 1

分析 （1）要使f₁（x）与f₂（x）有意义，则有$\left\{\begin{array}{l}{x-3a＞0}\\{x-a＞0}\\{a＞0且a≠1}\end{array}\right.$，即$\left\{\begin{array}{l}{a+2＞3a}\\{a＞0且a≠1}\end{array}\right.$，从而求出a的取值范围．
（2）f₁（x）与f₂（x）在给定区间[a+2，a+3]上是接近的，
?|f1（x）-f（x2）|≤1?|loga（x-3a）-${log}_{a}^{\frac{1}{x-a}}$|≤1?|loga[（x-3a）（x-a）]|≤1?a≤（x-2a）2-a2$≤\frac{1}{a}$对于任意x∈[a+2，a+3]恒成立．

解答 解：（1）要使f₁（x）与f₂（x）有意义，则有$\left\{\begin{array}{l}{x-3a＞0}\\{x-a＞0}\\{a＞0且a≠1}\end{array}\right.$，
要使f₁（x）与f₂（x）在给定区间[a+2，a+3]上都有意义，等价于：$\left\{\begin{array}{l}{a+2＞3a}\\{a＞0且a≠1}\end{array}\right.$，所以0＜a＜1．
（2）f₁（x）与f₂（x）在给定区间[a+2，a+3]上是接近的，
?|f1（x）-f（x2）|≤1?|loga（x-3a）-${log}_{a}^{\frac{1}{x-a}}$|≤1?|loga[（x-3a）（x-a）]|≤1?a≤（x-2a）2-a2$≤\frac{1}{a}$对于任意x∈[a+2，a+3]恒成立．
设h（x）=（x-2a）²-a²，x∈[a+2，a+3]，
且其对称轴x=2a＜2在区间[a+2，a+3]的左边，
?$\left\{\begin{array}{l}{a≤h（x）_{min}}\\{\frac{1}{a}≥h（x）_{max}}\end{array}\right.$?$\left\{\begin{array}{l}{a≤h（3+2）}\\{\frac{1}{a}≥h（a+3}\end{array}\right.$?$\left\{\begin{array}{l}{a≤4-4a}\\{\frac{1}{a}≥9-6a}\end{array}\right.$?$0＜a≤\frac{9-\sqrt{57}}{12}$，
所以当$0＜a≤\frac{9-\sqrt{57}}{12}$，时，f₁（x）与f₂（x）在给定区间[a+2，a+3]上是接近的．

点评 本题考查对数函数的性质和应用，解题时要注意函数恒成立的充要条件的合理运用，属于中档题．