Question

9．已知椭圆C：$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}$=1（a＞b＞0）的一个焦点$F（\sqrt{3}，0）$，长轴顶点到点A（0，-2）的距离为2$\sqrt{2}$，O为坐标原点．
（1）求椭圆C的方程；
（2）设过A点的动直线l与椭圆C相交于M，N两点，当△OMN的面积最大时，求l的方程．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由长轴顶点到点A（0，-2）的距离为2$\sqrt{2}$，即$\sqrt{（±a）^{2}+2}$=2$\sqrt{2}$，焦点$F（\sqrt{3}，0）$，即c=$\sqrt{3}$，则b²=a²-c²=4-1=3，进而得到椭圆方程；
（Ⅱ）设M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），由题意可设直线l的方程为：y=kx-2，与椭圆的方程联立可得根与系数的关系，再利用三角形的面积计算公式即可得出S_△OMN．通过换元再利用基本不等式的性质即可得出．

解答 解：由题意可知：椭圆C：$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}$=1（a＞b＞0）焦点在x轴上，焦点$F（\sqrt{3}，0）$，即c=$\sqrt{3}$，
由长轴顶点到点A（0，-2）的距离为2$\sqrt{2}$，即$\sqrt{（±a）^{2}+2}$=2$\sqrt{2}$，
解得：a=2，
b²=a²-c²=4-1=3，
∴椭圆C的方程$\frac{{x}^{2}}{4}+{y}^{2}=1$；
（2）当l⊥x时，不符合题意，
由题意可设直线l的方程为：y=kx-2，设M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），
$\left\{\begin{array}{l}{y=kx-2}\\{\frac{{x}^{2}}{4}+{y}^{2}=1}\end{array}\right.$，整理得：（1+4k²）x²+16kx+12=0，
当△=16（4k²-3）＞0时，即k²＞$\frac{3}{4}$，
由韦达定理可知：x₁+x₂=-$\frac{16k}{1+4{k}^{2}}$，x₁x₂=$\frac{12}{1+4{k}^{2}}$，
则△OMN的面积S=$\frac{1}{2}$•|OA|•|x₂|-$\frac{1}{2}$•|OA|•|x₁|=|x₂-x₁|=$\sqrt{（{x}_{1}+{x}_{2}）^{2}-4{x}_{1}{x}_{2}}$=$\sqrt{（-\frac{16k}{1+4{k}^{2}}）^{2}-4×\frac{12}{1+4{k}^{2}}}$=$\frac{4\sqrt{4{k}^{2}-3}}{1+4{k}^{2}}$，
令$\sqrt{4{k}^{2}-3}$=t（t＞0），则4k²=3+t²，
即有S=$\frac{4t}{4+{t}^{2}}$=$\frac{4}{t+\frac{4}{t}}$≤$\frac{4}{2\sqrt{t•\frac{4}{t}}}$=1，
当且仅当t=2，即有k=±$\frac{\sqrt{7}}{2}$时，S取得最大值，最大值为1，
∴直线l的方程为2y-$\sqrt{7}$x+4=0或2y+$\sqrt{7}$x+4=0．

点评 本题综合考查了椭圆的标准方程及其性质、斜率计算公式、椭圆的方程联立可得根与系数的关系、三角形的面积计算公式、基本不等式的性质等基础知识与基本技能方法，考查了推理能力和计算能力，考查了换元法和转化方法，属于中档题．