Question

19．设函数$f（x）=\frac{1}{2}{x^2}-4lnx$
（Ⅰ）求f（x）的单调区间；
（Ⅱ）求f（x）在区间[1，e]上的最值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求出定义域，函数的导数，极值点，利用导函数的符号求f（x）的单调区间；
（Ⅱ）利用函数的极值以及端点函数值，求解函数的最值即可．

解答 解：（I）定义域为（0，+∞）…（2分）
得$f'（x）=x-\frac{4}{x}$，令f'（x）=0，x=2

x	0＜x＜2	x＞2
f'（x）	-	+

所以f（x）的单调减区间为（0，2）单调增区间为（2，+∞）             …（6分）
（ II）由（I），f（x）在[1，2]减，在[2，e]增，
所以f（x）_min=f（2）=2-4ln2…（9分）
又f（1）=$\frac{1}{2}$，$f（e）=\frac{1}{2}{e^2}-4$…（11分）
因为$f（e）=\frac{1}{2}{e^2}-4＜\frac{1}{2}$
所以f（x）_min=f（2）=2-4ln2，$f{（x）_{max}}=\frac{1}{2}$…（14分）

点评 本题考查函数的导数的综合应用，函数的最值以及函数的单调性极值的求法，考查转化思想以及计算能力．