Question

11．已知函数f（x）=xln x，g（x）=（-x²+ax-3）e^x（a为实数）．
（1）当a=5时，求函数y=g（x）在x=1处的切线方程；
（2）求f（x）在区间[t，t+2]（t＞0）上的最小值．

Answer 1

分析 （1）求出切点坐标，函数的导数，求出切线的斜率，然后求解切线方程．
（2）求出函数的定义域，函数的导数，通过导函数的符号，判断函数的单调性，然后求解函数的最值．

解答 解：（1）当a=5时，
g（x）=（-x²+5x-3）e^x，g（1）=e．
又g′（x）=（-x²+3x+2）e^x，故切线的斜率为g′（1）=4e．
所以切线方程为：y-e=4e（x-1），即y=4ex-3e．
（2）函数f（x）的定义域为（0，+∞），f′（x）=ln x+1，
当x变化时，f′（x），f（x）的变化情况如下表：

x	（0，$\frac{1}{e}$）	$\frac{1}{e}$	（$\frac{1}{e}$，+∞）
f′（x）	-	0	+
f（x）	单调递减	极小值	单调递增

①当t≥$\frac{1}{e}$时，在区间[t，t+2]上f（x）为增函数，所以f（x）_min=f（t）=tln t．
②当0＜t＜$\frac{1}{e}$时，在区间[t，$\frac{1}{e}$）上f（x）为减函数，在区间$（\frac{1}{e}，t+2]$上f（x）为增函数，
所以f（x）_min=f（$\frac{1}{e}$）=-$\frac{1}{e}$．

点评 本题考查函数的导数的应用，切线方程，以及函数的最值的求法，考查转化思想以及计算能力．