Question

7．已知函数f（x）=x²-2lnx．
（1）求证：f（x）在（1，+∞）上单调递增．
（2）若f（x）≥2tx-$\frac{1}{{x}^{2}}$在x∈（0，1]内恒成立，求实数t的取值范围．

Answer 1

分析 （1）先求函数的导数，根据导数和函数的单调性的关系即可求出，
（2）要求若f（x）≥2tx-$\frac{1}{{x}^{2}}$在x∈（0，1]内恒成立，即转化为2t≤x+$\frac{1}{{x}^{3}}$-$\frac{2lnx}{x}$在x∈（0，1]内恒成立，只需求h（x）=x+$\frac{1}{{x}^{3}}$-$\frac{2lnx}{x}$x∈（0，1]内的最小值即可．

解答 解：（1）证明：函数的定义域为（0，+∞），f′（x）=2x-$\frac{2}{x}$=$\frac{2（x+1）（x-1）}{x}$，
由f′（x）＞0，得x＞1，由f′（x）＜0，得0＜x＜1，
所以，函数f（x）在区间（1，+∞）上单调递增．
（2）由f（x）≥2tx-$\frac{1}{{x}^{2}}$对x∈（0，1]恒成立，得2t≤x+$\frac{1}{{x}^{3}}$-$\frac{2lnx}{x}$．
令h（x）=x+$\frac{1}{{x}^{3}}$-$\frac{2lnx}{x}$，则h′（x）=$\frac{{x}^{4}-2{x}^{2}-3+2{x}^{2}lnx}{{x}^{4}}$，
因为x∈（0，1]，所以x⁴-3＜0，-2x²＜0，
2x²lnx＜0，x⁴＞0，
所以h′（x）＜0，
所以h（x）在（0，1）上为减函数．
所以当x=1时，h（x）=h（x）=x+$\frac{1}{{x}^{3}}$-$\frac{2lnx}{x}$，有最小值2，得2t≤2，
所以t≤1，故t的取值范围是（-∞，1]．

点评 本题考查了利用导数求闭区间上函数的最值，以求函数恒成立问题，属于中档题．