Question

12．已知向量$\overrightarrow a$=（sinθ，-1）与$\overrightarrow b$=（2，cosθ）互相垂直，其中θ∈（0，π）．
（1）求sinθ和cosθ的值；
（2）求$cos（θ+\frac{π}{4}）$值．

Answer 1

分析 （1）利用两个向量的数量积公式，两个向量垂直的性质，同角三角函数的基本关系，求得sinθ和cosθ 的值．
（2）利用两角差的余弦公式求得 $cos（θ+\frac{π}{4}）$ 的值．

解答 解（1）向量$\overrightarrow a$=（sinθ，-1）与$\overrightarrow b$=（2，cosθ）互相垂直，其中θ∈（0，π）．
∴$\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}$=2sinθ-cosθ=0，即2sinθ=cosθ，
再根据sinθ＞0，sin²θ+cos²θ=1，求得$sinθ=\frac{{\sqrt{5}}}{5}$，$cosθ=\frac{{2\sqrt{5}}}{5}$．
（2）由（1）可得 $cos（θ+\frac{π}{4}）$=cosθcos$\frac{π}{4}$-sinθsin$\frac{π}{4}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}•\frac{2\sqrt{5}}{5}$-$\frac{\sqrt{5}}{5}•\frac{\sqrt{2}}{2}$=$\frac{\sqrt{10}}{10}$．

点评 本题主要考查两个向量的数量积公式，两个向量垂直的性质，同角三角函数的基本关系，两角差的余弦公式的应用，属于基础题．