Question

17．椭圆C的方程为$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0），F₁，F₂分别是它的左、右焦点，已知椭圆C过点（0，1），且离心率e=$\frac{2\sqrt{2}}{3}$．
（1）求椭圆C的方程；
（2）如图，设椭圆的左、右顶点分别为A、B，直线l的方程为x=4，P是椭圆上异于A、B的任意一点，直线PA、PB分别交直线l于D、E两点，求证$\overrightarrow{{F}_{1}D}$•$\overrightarrow{{F}_{2}E}$为一定值，并求出这一定值；
（3）是否存在过点Q（1，0）的直线m（与x轴不垂直）与椭圆C交于M、N两点，使 $\overrightarrow{M{F}_{1}}$⊥$\overrightarrow{N{F}_{1}}$，若存在，求出l的斜率，若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）由已知求出b，结合椭圆离心率及隐含条件列式求得a，则椭圆C的方程可求；
（2）设P（x₀，y₀），推出直线PA、PB的方程，求得D，E两点的坐标求出向量，利用点P（x₀，y₀）在椭圆C上，即可求$\overrightarrow{{F}_{1}D}•\overrightarrow{{F}_{2}E}$的值；
（3）设M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），m：x=ty+1，联立直线方程和椭圆方程，化为关于y的一元二次方程，利用根与系数的关系求出M，N的纵坐标的和与积，代入 $\overrightarrow{M{F}_{1}}$•$\overrightarrow{N{F}_{1}}$，求出 $\overrightarrow{M{F}_{1}}$•$\overrightarrow{N{F}_{1}}$≠0，说明不存在过点Q（1，0）的直线m（与x轴不垂直）与椭圆C交于M、N两点，使 $\overrightarrow{M{F}_{1}}$⊥$\overrightarrow{N{F}_{1}}$．

解答 解：（1）由题意可知，b=1，联立$\left\{\begin{array}{l}{b=1}\\{{a}^{2}={b}^{2}+{c}^{2}}\\{e=\frac{c}{a}=\frac{2\sqrt{2}}{3}}\end{array}\right.$，解得a²=9，c²=8，b²=1．
∴椭圆C的方程为$\frac{{x}^{2}}{9}+{y}^{2}=1$；
（2）设P（x₀，y₀），则直线PA、PB的方程分别为y=$\frac{{y}_{0}}{{x}_{0}+3}$（x+3），y=$\frac{{y}_{0}}{{x}_{0}-3}$（x-3），
将x=4分别代入可求得D，E两点的坐标分别为D（4，$\frac{7{y}_{0}}{{x}_{0}+3}$），E（4，$\frac{{y}_{0}}{{x}_{0}-3}$）．
由（1），F₁（-2$\sqrt{2}$，0），F₂（2$\sqrt{2}$，0），
∴$\overrightarrow{{F}_{1}D}$•$\overrightarrow{{F}_{2}E}$=（4+2$\sqrt{2}$，$\frac{7{y}_{0}}{{x}_{0}+3}$）•（4-2$\sqrt{2}$，$\frac{{y}_{0}}{{x}_{0}-3}$）=8+$\frac{7{{y}_{0}}^{2}}{{{x}_{0}}^{2}-9}$，
又∵点P（x₀，y₀）在椭圆C上，
∴$\frac{{{x}_{0}}^{2}}{9}+{{y}_{0}}^{2}=1$，得$\frac{{{y}_{0}}^{2}}{{{x}_{0}}^{2}-9}=-\frac{1}{9}$，
∴$\overrightarrow{{F}_{1}D}$•$\overrightarrow{{F}_{2}E}$=$\frac{65}{9}$；
（3）设过点Q（1，0）的直线m（与x轴不垂直）与椭圆C交于M、N两点，设m：x=ty+1，
再设M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），F₁（$-2\sqrt{2}$，0），
联立$\left\{\begin{array}{l}{x=ty+1}\\{{x}^{2}+9{y}^{2}=9}\end{array}\right.$，得（t²+9）y²+2ty-8=0．
△=4t²+32（t²+9）＞0，
${y}_{1}+{y}_{2}=\frac{-2t}{{t}^{2}+9}，{y}_{1}{y}_{2}=\frac{-8}{{t}^{2}+9}$，
x₁+x₂=t（y₁+y₂）+2，
∴${x}_{1}{x}_{2}=（t{y}_{1}+1）（t{y}_{2}+1）={t}^{2}{y}_{1}{y}_{2}+t（{y}_{1}+{y}_{2}）+1$=$\frac{-8{t}^{2}}{{t}^{2}+9}-\frac{2{t}^{2}}{{t}^{2}+9}+1=\frac{-9{t}^{2}+9}{{t}^{2}+9}$，
$\overrightarrow{M{F}_{1}}•\overrightarrow{N{F}_{1}}=（-2\sqrt{2}-{x}_{1}，-{y}_{1}）•（-2\sqrt{2}-{x}_{2}，-{y}_{2}）$
=$（2\sqrt{2}+{x}_{1}）（2\sqrt{2}+{x}_{2}）+{y}_{1}{y}_{2}$=$8+2\sqrt{2}（{x}_{1}+{x}_{2}）+{x}_{1}{x}_{2}+{y}_{1}{y}_{2}$
=$8+2\sqrt{2}t（{y}_{1}+{y}_{2}）+4\sqrt{2}$+x₁x₂+y₁y₂=$8+2\sqrt{2}t•\frac{-2t}{{t}^{2}+9}+4\sqrt{2}+\frac{-9{t}^{2}+9}{{t}^{2}+9}+\frac{-8}{{t}^{2}+9}$
=$\frac{8{t}^{2}+72-4\sqrt{2}{t}^{2}+4\sqrt{2}{t}^{2}+36\sqrt{2}-9{t}^{2}+9-8}{{t}^{2}+9}$=$\frac{-{t}^{2}+73+36\sqrt{2}}{{t}^{2}+9}$≠0．
∴不存在过点Q（1，0）的直线m（与x轴不垂直）与椭圆C交于M、N两点，使 $\overrightarrow{M{F}_{1}}$⊥$\overrightarrow{N{F}_{1}}$．

点评 本题考查椭圆的相关知识，直线与椭圆的位置关系的应用，考查学生运算能力、分析问题的能力，属难题．