Question

5．过点（2，0）引直线l与曲线$y=\sqrt{2-{x^2}}$相交于A，B两点，O为坐标原点，当△AOB的面积取最大值时，直线l的斜率等于（　　）

• A． $\frac{{\sqrt{3}}}{3}$
• B． $-\sqrt{3}$
• C． $±\frac{{\sqrt{3}}}{3}$
• D． $-\frac{{\sqrt{3}}}{3}$

Answer 1

分析 当△AOB面积取最大值时，OA⊥OB，圆心O（0，0）到直线直线l的距离为1，由此能求出直线l的斜率．

解答 解：当△AOB面积取最大值时，OA⊥OB，
∵曲线$y=\sqrt{2-{x^2}}$相交于A，B两点，O为坐标原点，
∴圆心O（0，0），半径r=$\sqrt{2}$，
∴OA=OB=$\sqrt{2}$，AB=2，
∴圆心O（0，0）到直线直线l的距离为1，
当直线l的斜率不存在时，直线l的方程为x=2，不合题意；
当直线l的斜率存在时，直线l的方程为y=k（x-2），
圆心（0，0）到直线l的距离d=$\frac{|-2k|}{\sqrt{{k}^{2}+1}}$=1，
解得k=±$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
∵k＜0，∴k=-$\frac{\sqrt{3}}{3}$．
故选：D．

点评 本题考查了直线与圆的位置关系以及点到直线的距离公式的运用问题，解题的关键是根据△AOB的面积取到最大值时OA⊥OB，是中档题．