Question

20．设G为△ABC的重心，a，b，c分别为角A，B，C的对边，若35a$\overrightarrow{GA}$+21b$\overrightarrow{GB}$+15c$\overrightarrow{GC}$=$\overrightarrow{0}$，则sinC=$\frac{\sqrt{3}}{2}$．

Answer 1

分析 由G为三角形ABC重心，得到$\overrightarrow{GA}$+$\overrightarrow{GB}$+$\overrightarrow{GC}$=$\overrightarrow{0}$，表示出$\overrightarrow{GC}$，代入已知等式中，整理后利用平面向量基本定理用c表示出a与b，设出c，得到a与b，根据余弦定理表示出cos∠ACB，将三边长代入求出cos∠ACB的值，利用同角三角函数间的基本关系即可求出sin∠ACB的值

解答 解：∵G为△ABC的重心，
∴$\overrightarrow{GA}$+$\overrightarrow{GB}$+$\overrightarrow{GC}$=$\overrightarrow{0}$，即$\overrightarrow{GC}$=-$\overrightarrow{GA}$-$\overrightarrow{GB}$，
代入35a$\overrightarrow{GA}$+21b$\overrightarrow{GB}$+15c$\overrightarrow{GC}$=$\overrightarrow{0}$整理得：（35a-15c）$\overrightarrow{GA}$+（21b-15c）$\overrightarrow{GB}$=0，
∵$\overrightarrow{GA}$，$\overrightarrow{GB}$不共线，
∴由平面向量基本定理得：35a-15c=0，21b-15c=0，
即a=$\frac{3}{7}$ c，b=$\frac{5}{7}$ c，
令c=7t，则a=3t，b=5t，
根据余弦定理得：cos∠ACB=$\frac{{a}^{2}+{b}^{2}-{c}^{2}}{2ab}$=$\frac{（9+25-49）{t}^{2}}{30{t}^{2}}$=-$\frac{1}{2}$，
∵∠ACB为三角形内角，
∴sin∠ACB=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
故答案为：$\frac{\sqrt{3}}{2}$

点评 此题考查了余弦定理，平面向量基本定理，以及同角三角函数间的基本关系，熟练掌握余弦定理是解本题的关键．