Question

15．在平面直角坐标系xOy中，设圆C的方程为（x-a）²+（y-2a+4）²=1．
（Ⅰ）若圆C经过A（3，3）与B（4，2）两点，求实数a的值；
（Ⅱ）点P（0，3），若圆C上存在点M，使|MP|=2|MO|，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 （Ⅰ）设圆C的圆心（x，y），则$\left\{\begin{array}{l}x=a\\ y=2a-4\end{array}\right.$即圆C的圆心满足y=2x-4．由$\left\{\begin{array}{l}y=2x-4\\ y=x-1\end{array}\right.$，得圆心C（3，2），即可得出结论．
（Ⅱ）设点M（x，y），通过|MA|=2|MO|，化简，利用点M（x，y）在圆C上，推出|2-1|≤|CD|≤2+1，求解即可．

解答 解：（Ⅰ）由题意k_AB=-1，线段AB的中点为$（\frac{7}{2}，\frac{5}{2}）$，
故线段AB的中垂线方程为$y-\frac{5}{2}=x-\frac{7}{2}$即y=x-1．
设圆C的圆心（x，y），则$\left\{\begin{array}{l}x=a\\ y=2a-4\end{array}\right.$即圆C的圆心满足y=2x-4．
由$\left\{\begin{array}{l}y=2x-4\\ y=x-1\end{array}\right.$，得圆心C（3，2），即a=3．
（Ⅱ）点M（x，y），因为|MA|=2|MO|，
所以$\sqrt{{x}^{2}+（y-3）^{2}}$=2$\sqrt{{x}^{2}+{y}^{2}}$，化简得x²+y²+2y-3=0，即x²+（y+1）²=4，
所以点M在以D（0，-1）为圆心，2为半径的圆上
所以点M应该既在圆C上又在圆D上，即圆C和圆D有公共点．
因此$|{2-1}|≤\sqrt{{a^2}+{{[{（2a-4）-（-1）}]}^2}}≤|{2+1}|$
由5a²-8a+8≥0得a∈R；由5a²-12a≤0得$0≤a≤\frac{12}{5}$，
因此所求实数a的取值范围是$0≤a≤\frac{12}{5}$．

点评 本题考查圆的方程的应用，直线与圆的位置关系，考查分析问题解决问题的能力．