Question

6．在三棱锥P-ABC中，PA⊥底面ABC，BC⊥AC，∠ABC=30°，AC=1，PB=2$\sqrt{3}$，则PC与平面PAB所成余弦值是（　　）

• A． $\frac{\sqrt{33}}{6}$
• B． $\frac{\sqrt{3}}{3}$
• C． $\frac{\sqrt{3}}{6}$
• D． $\frac{\sqrt{6}}{3}$

Answer 1

分析 由等面积求出C到平面PAB的距离，再求出PC，即可求出PC与平面PAB所成余弦值．

解答 解：由题意，∠ABC=30°，AC=1，BC⊥AC，
所以AB=2，BC=$\sqrt{3}$．
∵PA⊥底面ABC，PB=2$\sqrt{3}$，
∴PA=$\sqrt{12-4}$=2$\sqrt{2}$，∴PC=3．
设C到平面PAB的距离为d，则由等面积可得$\frac{1}{2}•1•\sqrt{3}=\frac{1}{2}•2d$，
∴d=$\frac{\sqrt{3}}{2}$
∴PC与平面PAB所成角的正弦值=$\frac{\frac{\sqrt{3}}{2}}{3}$=$\frac{\sqrt{3}}{6}$，
∴PC与平面PAB所成角的余弦值=$\sqrt{1-\frac{3}{36}}$=$\frac{\sqrt{33}}{6}$．
故选A．

点评 本题考查线面位置关系，考查空间角，考查学生的计算能力，属于中档题．