Question

17．已知函数f（x）=lnx，$g（x）=-\frac{a}{x}+\frac{3}{2}（a＞0）$
（1）当a=1时，若曲线y=f（x）在点M（x₀，f（x₀））处的切线与曲线y=g（x）在点P（x₀，g（x₀））处的切线平行，求实数x₀的值；
（2）若?x∈（0，e]，都有f（x）≥g（x），求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）把a=1导入解析式，并求出f′（x）和g′（x），根据切线平行对应的斜率相等列出方程，求出x₀的值；
（2）根据条件设F（x）=f（x），再把条件进行转化，求出对应的解析式和导数，求出临界点，并根据导数与函数单调性的关系列出表格，再对a进行分类讨论，分别判断出函数的单调性，再求出对应的最小值，列出不等式求出a的范围．

解答 解：（1）把a=1代入得，g（x）=-$\frac{1}{x}$+$\frac{3}{2}$，
则f′（x）=$\frac{1}{x}$，g′（x）=$\frac{1}{{x}^{2}}$，
∵f（x）在点M （x₀，f（x₀））处的切线与
g（x）在点P （x₀，g（x₀））处的切线平行，
∴$\frac{1}{{x}_{0}}$=$\frac{1}{{{x}_{0}}^{2}}$，解得x₀=1，
∴x₀=1，
（2）由题意设F（x）=f（x）-g（x）=lnx+$\frac{a}{x}$-$\frac{3}{2}$，
∵?x∈（0，e]，都有f（x）≥g（x），
∴只要F（x）在（0，e]上的最小值大于等于0即可，
则F′（x）=$\frac{1}{x}$-$\frac{a}{{x}^{2}}$=$\frac{x-a}{{x}^{2}}$，由F′（x）=0得，x=a，
F（x）、F′（x）随x的变化情况如下表：

x	（0，a）	a	（a，+∞）
F′（x）	-	0	+
F（x）	递减	极大值	递增

当a≥e时，函数F′（x）在（0，e）上单调递减，F（e）为最小值，
∴F（e）=1+$\frac{a}{e}$-$\frac{3}{2}$≥0，得a$≤\frac{e}{2}$，∴a≥e
当a＜e时，函数F（x）在（0，a）上单调递减，在（a，e）上单调递增，
则F（a）为最小值，所以F（a）=lna+$\frac{a}{a}$-$\frac{3}{2}$，得a≥$\sqrt{e}$
∴$\sqrt{e}$≤a＜e，
综上所述，a≥$\sqrt{e}$．

点评 本题考查了导数的几何意义，导数与函数单调性的关系，以及恒成立问题的转化，分类讨论思想，考查了分析问题和解决问题的能力．