Question

8．已知函数f（x）=lnx-ax-3（a≠0）
（1）求函数f（x）的极值；
（2）若对于任意的a∈[1，2]，若函数g（x）=x³+$\frac{{x}^{2}}{2}$[m-2f′（x）]在区间（a，3）上有最值，求实数m的取值范围．

Answer 1

分析 （1）求出函数f（x）的定义域与 f′（x），通过当a＜0时，当a＞0时，判断导函数的符号，推出单调性与极值．
（2）化简g（x），求出g′（x），利用g（x）在区间（a，3）上有最值，说明g（x）在区间（a，3）上有极值，方程g'（x）=0在（a，3）上有一个或两个不等实根，列出不等式组，转化为对任意a∈[1，2]，g′（a）=3a²+（m+2a）a-1=5a²+ma-1＜0恒成立，得到m＜$\frac{1-5{a}^{2}}{a}$=$\frac{1}{a}-5a$，然后求解即可．

解答 解：（1）由已知得f（x）的定义域为（0，+∞），且 f′（x）=$\frac{1}{x}$-a，…（2分）
当a＜0时，$f'（x）=\frac{1}{x}-a＞0$，
∴f（x）在（0，+∞）单调增，f（x）无极值；…（3分）
当a＞0时，
由$f'（x）=\frac{1}{x}-a＞0得：0＜x＜\frac{1}{a}$，由$f'（x）=\frac{1}{x}-a＜0得：x＞\frac{1}{a}$，
∴$f（x）在（0，\frac{1}{a}）上单调递增，在（\frac{1}{a}，+∞）上单调递减$．…（4分）
∴$f（x）的极大值f（\frac{1}{a}）=-（lna+4）$，无极小值． …（5分）
综上：当a＜0时，f（x）无极值；
当a＞0时，$f（x）有极大值f（\frac{1}{a}）=-（lna+4）$，无极小值． …（6分）
（2）g（x）=x³+$\frac{{x}^{2}}{2}$[m-2f′（x）]=x³+（$\frac{m}{2}$+a）x²-x，
∴g′（x）=3x²+（m+2a）x-1，
∵g（x）在区间（a，3）上有最值，
∴g（x）在区间（a，3）上有极值，即方程g'（x）=0在（a，3）上有一个或两个不等实根，
又g′（0）=-1，∴$\left\{\begin{array}{l}{g′（a）＜0}\\{g′（3）＞0}\end{array}\right.$，…（9分）
由题意知：对任意a∈[1，2]，g′（a）=3a²+（m+2a）a-1=5a²+ma-1＜0恒成立，
∴m＜$\frac{1-5{a}^{2}}{a}$=$\frac{1}{a}-5a$，因为a∈[1，2]，∴m＜$-\frac{19}{2}$   
对任意a∈[1，2]，g′（3）=26+3m+6a＞0恒成立
∴m＞$\frac{-6a-26}{3}$=$-\frac{26}{3}-2a$，
∵a∈[1，2]，∴m＞-$\frac{32}{3}$，
∴-$\frac{32}{3}＜m＜-\frac{19}{2}$．…（12分）

点评 本题考查函数的导数的综合应用，函数恒成立，考查分类讨论思想以及转化思想的应用，考查计算能力．