Question

20．如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是直角梯形，AB⊥AD，AB∥CD，AB=2AD=2CD=2，BC=$\sqrt{2}$，且PC⊥CD，BC⊥PA，E是PB的中点．
（1）求证：平面PBC⊥平面EAC；
（2）若二面角P-AC-E的正弦值为$\frac{{\sqrt{3}}}{3}$，求直线PA与平面EAC所成角的余弦值．

Answer 1

分析 （1）证明平面EAC⊥平面PBC，只需证明AC⊥平面PBC，即证AC⊥PC，AC⊥BC；
（2）根据题意，建立空间直角坐标系，用坐标表示点与向量，求出面PAC的法向量，由此能求出直线PA与平面EAC所成角的余弦值．

解答 证明：（1）∵PC⊥平面ABCD，AC?平面ABCD，
∴AC⊥PC，
∵AB=2，AD=CD=1，∴AC=BC=$\sqrt{2}$，
∴AC²+BC²=AB²，∴AC⊥BC，
又BC∩PC=C，∴AC⊥平面PBC，
∵AC?平面EAC，∴平面PBC⊥平面EAC．
解：（2）取AB中点F，以C为原点，CF为x轴，CD为y轴，CP为z轴，建立空间直角坐标系，
∵AB=2AD=2CD=2，BC=$\sqrt{2}$，且PC⊥CD，BC⊥PA，E是PB的中点，
∴则C（0，0，0），A（1，1，0），B（1，-1，0），设P（0，0，a）（a＞0），
则E（$\frac{1}{2}$，-$\frac{1}{2}$，$\frac{a}{2}$），$\overrightarrow{CA}$=（1，1，0），$\overrightarrow{CP}$=（0，0，a），$\overrightarrow{CE}$=（$\frac{1}{2}，-\frac{1}{2}，\frac{a}{2}$）．
设平面PAC的法向量$\overrightarrow{m}$=（x，y，z），
则$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{CA}=x+y=0}\\{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{CP}=az=0}\end{array}\right.$，取x=1，得$\overrightarrow{m}$=（1，-1，0）．
设$\overrightarrow{n}$=（x，y，z）为面EAC的法向量，
则$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{CA}=x+y=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{CE}=x-y+az=0}\end{array}\right.$，取x=a，得$\overrightarrow{n}$=（a，-a，-2），
∵二面角P-AC-E的正弦值为$\frac{{\sqrt{3}}}{3}$，
∴依题意，|cos＜$\overrightarrow{m}，\overrightarrow{n}$＞|=$\frac{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{n}}{|\overrightarrow{m}|•|\overrightarrow{n}|}$=$\frac{a}{\sqrt{{a}^{2}+2}}$=$\frac{\sqrt{6}}{3}$，解得a=2．
于是$\overrightarrow{n}$=（2，-2，-2），$\overrightarrow{PA}$=（1，1，-2）．
设直线PA与平面EAC所成角为θ，则sin θ=|cos＜$\overrightarrow{PA}$，$\overrightarrow{n}$＞|=$\frac{\overrightarrow{PA}•\overrightarrow{n}}{|\overrightarrow{PA}|•|\overrightarrow{n}|}$=$\frac{\sqrt{2}}{3}$，
直线PA与平面EAC所成角的余弦值为$\sqrt{1-（\frac{\sqrt{2}}{3}）^{2}}$=$\frac{\sqrt{7}}{3}$．

点评 本题考查面面垂直，考查线面角，解题的关键是掌握面面垂直的判定，利用向量的方法研究线面角，属于中档题．