Question

9．已知椭圆$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1（{a＞b＞0}）$的中心在原点，右顶点为A（2，0），其离心率与双曲线$\frac{y^2}{3}-{x^2}=1$的离心率互为倒数
（1）求椭圆的方程；
（2）已知M，N是椭圆C上的点，O为原点，直线OM与ON的斜率之积为$-\frac{1}{4}$，若动点P（x₀，y₀）满足$\overrightarrow{OP}=\overrightarrow{OM}+3\overrightarrow{ON}$，求证：${x_0}^2+4{y_0}^2$为定值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由双曲线的离心率为$\frac{2}{\sqrt{3}}$，所以椭圆的离心率e=$\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，又右顶点为（2，0），即a=2，c=$\sqrt{3}$，b=$\sqrt{{a}^{2}-{c}^{2}}$，即可得出．
（Ⅱ）设M（x₁，y₁）、N（x₂，y₂），可得${x}_{1}^{2}+4{y}_{1}^{2}$=4，${x}_{2}^{2}+4{y}_{2}^{2}$=4．由直线OM与ON的斜率之积为$-\frac{1}{4}$，可得$\frac{{y}_{1}}{{x}_{1}}•\frac{{y}_{2}}{{x}_{2}}$=-$\frac{1}{4}$，化为：x₁x₂+4y₁y₂=0，由动点P（x₀，y₀）满足$\overrightarrow{OP}=\overrightarrow{OM}+3\overrightarrow{ON}$，可得x₀=x₁+3x₂，y₀=y₁+3y₂．
代入化简即可得出．

解答 （Ⅰ）解：∵双曲线的离心率为$\frac{2}{\sqrt{3}}$，所以椭圆的离心率e=$\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
又∵右顶点为（2，0），即a=2，c=$\sqrt{3}$，b=$\sqrt{{a}^{2}-{c}^{2}}$=1，
∴椭圆方程为：$\frac{{x}^{2}}{4}+{y}^{2}$=1．
（Ⅱ）证明：设M（x₁，y₁）、N（x₂，y₂），
∴${x}_{1}^{2}+4{y}_{1}^{2}$=4，${x}_{2}^{2}+4{y}_{2}^{2}$=4．
∵直线OM与ON的斜率之积为$-\frac{1}{4}$，∴$\frac{{y}_{1}}{{x}_{1}}•\frac{{y}_{2}}{{x}_{2}}$=-$\frac{1}{4}$，化为：x₁x₂+4y₁y₂=0，
∵动点P（x₀，y₀）满足$\overrightarrow{OP}=\overrightarrow{OM}+3\overrightarrow{ON}$，
∴x₀=x₁+3x₂，y₀=y₁+3y₂．
∴${x_0}^2+4{y_0}^2$=$（{x}_{1}+3{x}_{2}）^{2}$+4$（{y}_{1}+3{y}_{2}）^{2}$
=${x}_{1}^{2}+4{y}_{1}^{2}$+$9（{x}_{2}^{2}+4{y}_{2}^{2}）$+6（x₁x₂+4y₁y₂）=4+9×4+6×0=40为定值．

点评 本题考查了椭圆与双曲线的标准方程及其性质、点与椭圆的关系、斜率计算公式、斜率坐标运算性质，考查了推理能力与计算能力，属于难题．