Question

4．已知椭圆C：$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$（a＞b＞0）的左焦点为F（-1，0），O为坐标原点，点$G（{1，\frac{{\sqrt{2}}}{2}}）$在椭圆上，过点F的直线l交椭圆于不同的两点 A、B．
（1）求椭圆C的方程；
（2）求弦AB的中点M的轨迹方程．

Answer 1

分析 （1）利用椭圆的焦点坐标，椭圆经过的点，列出a，b方程组，求解可得椭圆方程；
（2）设M（x，y），A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），利用中点坐标公式以及平方差公式，化简可得M的轨迹方程．

解答 解：（1）由题意有a²-b²=1，且$\frac{1^2}{a^2}+\frac{{{{（\frac{{\sqrt{2}}}{2}）}^2}}}{b^2}=1$，
解得a²=2，b²=1，
∴椭圆C的方程为$\frac{x^2}{2}+{y^2}=1$．…（4分）
（2）设M（x，y），A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），则$x=\frac{{{x_1}+{x_2}}}{2}$，$y=\frac{{{y_1}+{y_2}}}{2}$
当x₁=x₂时，M点的坐标为（-1，0）．
当x₁≠x₂时，
∵$\frac{{{x_1}^2}}{2}+{y_1}^2=1$，$\frac{{{x_2}^2}}{2}+{y_2}^2=1$，
两式相减得$\frac{{（{x_1}+{x_2}）（x{\;}_1-{x_2}）}}{2}=-（{y_1}+{y_2}）（{y_1}-{y_2}）$，
∴$\frac{2x}{2•2y}=-\frac{{{y_1}-{y_2}}}{{{x_1}-{x_2}}}$．
又AB过F点，于是AB的斜率为$\frac{{{y_1}-{y_2}}}{{{x_1}-{x_2}}}=\frac{y-0}{x+1}$，
∴$\frac{x}{2y}$=$-\frac{y}{x+1}$，
整理得x²+2y²+x=0．
∵（-1，0）也满足上式，
∴M的轨迹方程为x²+2y²+x=0．…（12分）

点评 本题考查椭圆的简单性质，椭圆方程的求法，轨迹方程的求法，考查转化思想以及计算能力．