Question

14．如图，已知正三棱柱ABC-A₁B₁C₁的底面边长是2，D是侧棱CC₁的中点，直线AD与侧BB₁C₁C所成的角为45°．
（1）求此正三棱柱的侧棱长；
（2）求二面角A-BD-C的平面角的正切值；
（3）求点C到平面ABD的距离．

Answer 1

分析 （1）取BC中点E，连AE．推导出AE⊥BC．AE⊥侧面BB₁C₁C．连ED，则直线AD与侧面BB₁C₁C所成的角为∠ADE=45°．由此能求出正三棱柱的侧棱长．
（2）过E作EF⊥BD于F，连AF，则∠AFE为二面角A-BD-C的平面角，由此能求出二面角A-BD-C的平面角的正切．
（3）由BD⊥平面AEF，知平面AEF⊥平面ABD，且交线为AF，过E作EG⊥AF于G，则EG⊥平面ABD，由此能求出点C到平面ABD的距离．

解答 解：（1）设正三棱柱ABC-A₁B₁C₁的侧棱长为x．取BC中点E，连AE．
∵△ABC是正三角形，∴AE⊥BC．
又底面ABC⊥侧面BB₁C₁C，且交线为BC．
∴AE⊥侧面BB₁C₁C．
连ED，则直线AD与侧面BB₁C₁C所成的角为∠ADE=45°．
在Rt△AED中，tan45°=$\frac{AE}{ED}$=$\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{1+\frac{{x}^{2}}{4}}}$，解得x=2$\sqrt{2}$．
∴此正三棱柱的侧棱长为2$\sqrt{2}$． …（4分）
（2）过E作EF⊥BD于F，连AF，
∵AE⊥侧面BB₁C₁C，∴AF⊥BD．
∴∠AFE为二面角A-BD-C的平面角．
在Rt△BEF中，EF=BEsin∠EBF，
又BE=1，sin$∠EBF=\frac{CD}{BD}$=$\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{{2}^{2}+（\sqrt{2}）^{2}}}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，∴EF=$\frac{\sqrt{3}}{3}$．
又AE=$\sqrt{3}$，∴在Rt△AEF中，tan$∠AFE=\frac{AE}{EF}$=3．
故二面角A-BD-C的平面角的正切为3．   …（9分）
（3）由（2）知，BD⊥平面AEF，
∴平面AEF⊥平面ABD，且交线为AF，
∴过E作EG⊥AF于G，则EG⊥平面ABD．
在Rt△AEF中，EG=$\frac{AE×EF}{AF}$=$\frac{\sqrt{3}×\frac{\sqrt{3}}{3}}{\sqrt{（\sqrt{3}）^{2}+（\frac{\sqrt{3}}{3}）^{2}}}$=$\frac{\sqrt{30}}{10}$．
∵E为BC中点，∴点C到平面ABD的距离为2EG=$\frac{2\sqrt{30}}{10}$=$\frac{\sqrt{30}}{5}$．  …（14分）

点评 本题考查正三棱柱的侧棱长、二面角的正切值、点到平面的距离的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．