Question

6．如图所示，在△OAB中，M、N分别是OA、OB的中点，点P在梯形ABNM区域（含边界）上移动，且$\overrightarrow{OP}=x\overrightarrow{OM}+y\overrightarrow{ON}$，则4x+3y的取值范围是[3，8]．

Answer 1

分析 根据P的位置分类讨论，利用向量的三角形法即可得解．

解答 解：P在MN上，可证：x+y=1，可得：4x+3y=4x+3-3x=x+3，x=0时，最小3，
P在AB上，可证：x+y=2，可得：4x+3y=4x+3（2-x）=x+6，x=2时，最大8，
则P落在阴影内，则有1＜4x+3y＜2．
故4x+3y的取值范围是[3，8]，
故答案为：[3，8]．

点评 本题考查向量的三角形法则，向量是数形结合的最好的工具，在解题时注意发挥向量的优点，考查了转化思想和数形结合思想，属于中档题．