Question

18．f（x）是定义在（0，+∞）上的非负可导函数，且满足xf′（x）-f（x）≤0．对任意正数a，b，若a＜b，则必有（　　）

• A． bf（a）≤af（b）
• B． af（b）≤bf（a）
• C． bf（a）≤f（a）
• D． af（a）≤f（b）

Answer 1

分析 由已知条件令F（x）=$\frac{f（x）}{x}$，判断出F′（x）≤0，据导函数的符号与函数单调性的关系判断出F（x）的单调性，利用单调性判断出F（a）与F（b）的关系，利用不等式的性质得到结论．

解答 解：∵f（x）是定义在（0，+∞）上的非负可导函数且满足xf′（x）≤f（x），
令F（x）=$\frac{f（x）}{x}$，则F′（x）=$\frac{xf′（x）-f（x）}{{x}^{2}}$，
∵xf′（x）-f（x）≤0，
∴F′（x）≤0，
∴F（x）=$\frac{f（x）}{x}$在（0，+∞）上单调递减或常函数
∵对任意的正数a、b，a＜b
∴$\frac{f（a）}{a}$≥$\frac{f（b）}{b}$，
∵任意的正数a、b，a＜b，
∴af（b）≤bf（a）
故选：B．

点评 函数的导函数符号确定函数的单调性：当导函数大于0时，函数单调递增；导函数小于0时，函数单调递减．