Question

7．已知f（x）=$\frac{{{e^{ax}}}}{x}$，（e为自然对数的底数）．
（Ⅰ）若f（x）在（0，4]上是减函数，求实数a的取值范围；
（Ⅱ）当a=1时，求函数f（x）在[m，m+2]（m＞0）上的最小值；
（Ⅲ）求证：$\sum_{i=1}^n{\frac{1}{{i•{e^i}}}}＜\frac{7}{4e}$．

Answer 1

分析 （Ⅰ）先求导函数，再分离参数，得到$a≤\frac{1}{x}$在（0，4]上恒成立，根据函数的最值即可求出a的范围，
（Ⅱ）先求导函数，再分类讨论函数的单调性，根据函数的单调性得到函数最小值．
（Ⅲ）由（Ⅱ）可得$\frac{1}{n{e}^{n}}$=$\frac{n}{{n}^{2}{e}^{n}}$≤$\frac{1}{{n}^{2}}$•$\frac{1}{e}$，利用放缩法和裂项求和法即可证明不等式成立．

解答 解：（Ⅰ）由题意知$f'（x）=（\frac{{{e^{ax}}}}{x}）'=\frac{{{e^{ax}}（ax-1）}}{x^2}≤0$在（0，4]上恒成立．
又e^ax＞0，x²＞0，则ax-1≤0在（0，4]上恒成立，
即$a≤\frac{1}{x}$在（0，4]上恒成立．
而当x∈（0，4]时，${（\frac{1}{x}）_{min}}=\frac{1}{4}$，
所以$a≤\frac{1}{4}$，
于是实数a的取值范围是$（{-∞，\frac{1}{4}}]$．
（Ⅱ）当a=1时，则$f'（x）=\frac{{{e^x}（x-1）}}{x^2}$．
当x-1＞0，即x＞1时，f'（x）＞0；
当x-1＜0且x≠0，即x＜0和0＜x＜1时，f'（x）＜0，
则f（x）的增区间为（1，+∞），减区间为（-∞，0）和（0，1）．…6
据此可得函数f（x）的大致图象，如图所示：因为m＞0，所以m+2＞1，
①当0＜m≤1时，f（x）在[m，1]上单调递减，在[1，m+2]上单调递增，所以f（x）_min=f（1）=e．
②当m≥1时，f（x）在[m，m+2]上单调递增，所以$f{（x）_{min}}=f（m）=\frac{e^m}{m}$．
综上，当0＜m≤1时，f（x）_min=e；当m≥1时，$f{（x）_{min}}=\frac{e^m}{m}$．
证明有：（Ⅲ）由（Ⅱ）可知，当x＞0时，f（x）=$\frac{{e}^{x}}{x}$≥e，
所以$\frac{x}{{e}^{x}}$≤$\frac{1}{e}$，x＞0，
可得$\frac{1}{n{e}^{n}}$=$\frac{n}{{n}^{2}{e}^{n}}$≤$\frac{1}{{n}^{2}}$•$\frac{1}{e}$，
于是证：$\sum_{i=1}^{n}$$\frac{1}{i{e}^{i}}$=$\frac{1}{e}$+$\frac{1}{2{e}^{2}}$+…+$\frac{1}{n{e}^{n}}$≤$\frac{1}{e}$（1+$\frac{1}{{2}^{2}}$+$\frac{1}{{3}^{2}}$+…+$\frac{1}{{n}^{2}}$）＜$\frac{1}{e}$（1+$\frac{1}{{2}^{2}-1}$+$\frac{1}{{3}^{2}-1}$+$\frac{1}{{n}^{2}-1}$），
=$\frac{1}{e}$[1+$\frac{1}{2}$（1-$\frac{1}{3}$+$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{4}$+$\frac{1}{3}$-$\frac{1}{5}$+…+$\frac{1}{n-2}$-$\frac{1}{n}$+$\frac{1}{n-1}$-$\frac{1}{n+1}$）]，
=$\frac{1}{e}$[1+$\frac{1}{2}$（1+$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$）]＜$\frac{1}{e}$（1+$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{4}$）=$\frac{7}{4e}$

点评 本题考查了导数和函数的单调性和最值的关系，以及参数的取值范围，以及放缩法和裂项求和在证明数列中的应用，属于难题．