Question

2．已知函数f（x）=e^x-ax-1（a∈R）
（1）若a=1，求函数f（x）的单调区间；
（2）若函数F（x）=f（x）-xlnx在定义域内存在零点，试求实数a的取值范围；
（3）若g（x）=ln（g^x-1）lnx，且f（g（x））＜f（x）在x∈（0，+∞）上恒成立，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）求函数的导数，利用导数和单调性之间的关系进行求解即可．
（2）先求函数F（x）=f（x）-x1nx的定义域，由F（x）=0可化为a=$\frac{{e}^{x}-1}{x}$-lnx，（x＞0），从而令h（x）=$\frac{{e}^{x}-1}{x}$-lnx，（x＞0），求导h′（x）=$\frac{（{e}^{x}-1）（x-1）}{{x}^{2}}$，从而由导数求单调性并求最值；
（3）当x＞0时，e^x-1＞x，故对?x＞0，g（x）＞0；构造函数H（x）=xe^x-e^x+1（x＞0），则H′（x）=xe^x＞0；从而由导数确定恒成立问题

解答 解：（1）∵f（x）=e^x-x-1，
∴f′（x）=e^x-1＞0，x＞0
f′（x）=e^x-1＜0，x＜0
∴函数f（x）的单调递增区间（0．+∞）；
函数f（x）的单调递减区间（-∞，0）；
（2）（2）F（x）=f（x）-x1nx的定义域为（0，+∞），
由F（x）=0得，a=$\frac{{e}^{x}-1}{x}$-lnx，（x＞0），
令h（x）=）=$\frac{{e}^{x}-1}{x}$-lnx，（x＞0），则h′（x）=$\frac{（{e}^{x}-1）（x-1）}{{x}^{2}}$，
由于x＞0，e^x-1＞0；当x＞1时，h′（x）＞0；当0＜x＜1，h′（x）＜0；
故函数h（x）在（0，1）上单调递减，在（1，+∞）上单调递增；
故h（x）≥h（1）=e-1；
又由（1）知，当a=1时，对?x＞0，有f（x）＞f（lna）=0；
即e^x-1＞x，故$\frac{{e}^{x}-1}{x}$＞1；
∵x＞0，∴$\frac{{e}^{x}-1}{x}$＞0，
当x→0时，lnx→-∞，∴h（x）→+∞；
当a＞e-1时，函数F（x）有两个不同的零点，
当a=e-1时，函数F（x）有且级有一个零点，
当a＜e-1时，函数F（x）没有零点；
（3）由（2）知，当x＞0时，e^x-1＞x，故对?x＞0，g（x）＞0；
构造函数H（x）=xe^x-e^x+1（x＞0），则H′（x）=xe^x＞0；
故函数H（x）在（0，+∞）上单调递增，
则H（x）＞H（0），
则?x＞0，xe^x-e^x+1＞0成立，
当a≤1时，由（1）知，f（x）在（lna，+∞）上单调递增，在（0，lna）上单调递减，
帮当0＜x＜lna时，0＜g（x）＜x＜lna，
所以f（g（x））＞f（x），则不满足题意，
所以满足题意的a的取值范围是（-∞，1]．

点评 本题考查了导数的综合应用及恒成立问题，考查学生分析解决问题的能力，分类讨论的解题思想，属于中档题