Question

13．如图，四棱锥P-ABCD的底面是边长为a的正方形，PA⊥平面ABCD，PA=a，E为CP中点，
（1）求PB与平面BDE所成的角；
（2）求二面角B-DE-P的大小．

Answer 1

分析 （1）以A为原点，AB为x轴，AD为y轴，AP为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出PB与平面BDE所成的角．
（2）求出平面BDE的法向量和平面DEP的法向量，利用向量法能求出二面角B-DE-P的大小．

解答 解：（1）以A为原点，AB为x轴，AD为y轴，AP为z轴，建立空间直角坐标系，
P（0，0，a），B（a，0，0），D（0，a，0），C（a，a，0），E（$\frac{a}{2}，\frac{a}{2}，\frac{a}{2}$），
$\overrightarrow{DB}$=（a，-a，0），$\overrightarrow{DE}$=（$\frac{a}{2}，-\frac{a}{2}，\frac{a}{2}$），
$\overrightarrow{PB}$=（a，0，-a），
设平面BDE的法向量$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），
则$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{DE}=\frac{a}{2}x-\frac{a}{2}y+\frac{a}{2}z=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{DB}=ax-ay=0}\end{array}\right.$，
取x=1，得$\overrightarrow{n}$=（1，1，0），
设PB与平面BDE所成的角为θ，
则sinθ=$\frac{|\overrightarrow{PB}•\overrightarrow{n}|}{|\overrightarrow{PB}|•|\overrightarrow{n}|}$=$\frac{a}{\sqrt{2}a•\sqrt{2}}$=$\frac{1}{2}$，
∴θ=30°，
∴PB与平面BDE所成的角为30°．
（2）平面BDE的法向量$\overrightarrow{n}$=（1，1，0），
$\overrightarrow{DP}$=（0，-a，a），$\overrightarrow{DE}$=（$\frac{a}{2}，-\frac{a}{2}，\frac{a}{2}$），
设平面DEP的法向量$\overrightarrow{m}$=（x，y，z），
则$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{DE}=\frac{a}{2}x-\frac{a}{2}y+\frac{a}{2}z=0}\\{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{DP}=-ay+az=0}\end{array}\right.$，取y=1，得$\overrightarrow{m}$=（0，1，1），
设二面角B-DE-P的大小为α，
则cosα=$\frac{|\overrightarrow{m}•\overrightarrow{n}|}{|\overrightarrow{m}|•|\overrightarrow{n}|}$=$\frac{1}{\sqrt{2}•\sqrt{2}}=\frac{1}{2}$，
∴α=60°，
∴二面角B-DE-P的大小为60°．

点评 本题考查线面角、二面角的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．