Question

1．已知数列{a_n}满足点{a_n，a_n+1）在直线y=2x+1上，且a₁=1．
（1）求数列{a_n}的通项公式a_n和S_n；
（2）若b_n=（a_n+1）log${\;}_{\frac{1}{2}}$（a_n+1），（n∈N^*），设数列{b_n}的前n项和为T_n，求使T_n+n•2ⁿ⁺¹＞50成立的正整数n的最小值．

Answer 1

分析 （1）依题意，可得数列{a_n+1}是以2为首项，2为公比的等比数列，于是可求得数列{a_n}的通项公式a_n和S_n；
（2）化简b_n=（a_n+1）log${\;}_{\frac{1}{2}}$（a_n+1）为b_n=-n•2ⁿ，利用错位相减法可求得数列{b_n}的前n项和为T_n=（1-n）2ⁿ⁺¹-2，代入T_n+n•2ⁿ⁺¹＞50可得使之成立的正整数n的最小值．

解答 解：（1）∵点{a_n，a_n+1）在直线y=2x+1上，
∴a_n+1=2a_n+1，即a_n+1+1=2（a_n+1），又a₁=1，a₁+1=2，
∴数列{a_n+1}是以2为首项，2为公比的等比数列，
∴a_n+1=2ⁿ，
∴a_n=2ⁿ-1．
S_n=a₁+a₂+…a_n=（2¹+2²+…+2ⁿ）-n=$\frac{2（1{-2}^{n}）}{1-2}$-n=2ⁿ⁺¹-n-2．
（2）∵b_n=（a_n+1）log${\;}_{\frac{1}{2}}$（a_n+1）=2ⁿlog${\;}_{\frac{1}{2}}$2ⁿ=-n•2ⁿ，
∴-T_n=1•2¹+2•2²+…+n•2ⁿ，①
-2T_n=1•2²+2•2³+…+…+（n-1）•2ⁿ+n•2ⁿ⁺¹，②
①-②得：T_n=2¹+2²+…+2ⁿ-n•2ⁿ⁺¹=2ⁿ⁺¹-2-n•2ⁿ⁺¹=（1-n）2ⁿ⁺¹-2．
要使T_n+n•2ⁿ⁺¹＞50成立，即（1-n+n）2ⁿ⁺¹-2=2ⁿ⁺¹-2＞50成立，
∵2⁵=32＜52，2⁶=64＞52，即当n+1≥6，n≥5时，2ⁿ⁺¹-2＞50恒成立，
∴使T_n+n•2ⁿ⁺¹＞50成立的正整数n的最小值为5．

点评 本题考查数列的递推式，考查等比数列的关系的确定与通项公式的求法，突出考查错位相减法求和的应用，考查转化思想与运算能力，属于中档题．