Question

16．对于R上可导的任意函数f（x），若满足f（x）=f（2-x），且（x-1）f′（x）≥0，则必有（　　）

• A． f（0）+f（2）＜2f（1）
• B． f（0）+f（2）≤2f（1）
• C． f（0）+f（2）≥2f（1）
• D． f（0）+f（2）＞2f（1）

Answer 1

分析 由（x-1）f′（x）≥0，可得x＞1时，f′（x）≥0，此时函数f（x）单调递增；x＜1时，f′（x）≤0，此时函数f（x）单调递减．l利用单调性即可判断出结论．

解答 解：由（x-1）f′（x）≥0，可得x＞1时，f′（x）≥0，此时函数f（x）单调递增；
x＜1时，f′（x）≤0，此时函数f（x）单调递减．
∵满足f（x）=f（2-x），∴函数f（x）关于直线x=1对称，
∴f（0）≥f（1），f（2）≥f（1），
∴f（0）+f（2）≥2f（1），
故选：C．

点评 本题考查了利用导数研究函数的单调性，考查了分类讨论方法、推理能力与计算能力，属于中档题．