Question

10．已知函数f（x）=x³+$\frac{5}{2}$x²+ax+b（a，b为常数），其图象是曲线C．
（1）当a=-2时，求函数f（x）的单调减区间；
（2）设函数f（x）的导函数为f′（x），若存在唯一的实数x₀，使得f（x₀）=x₀与f′（x₀）=0同时成立，求实数b的取值范围．

Answer 1

分析 （1）先求原函数的导数，根据f′（x）＜0求得的区间是单调减区间，即可；
（2）由于存在唯一的实数x₀，使得f（x₀）=x₀与f′（x₀）=0同时成立，则$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{3}+\frac{5}{2}{x}^{2}+（a-1）x+b=0}\\{3{x}^{2}+5x+a=0}\end{array}\right.$存在唯一的实数根x₀，即b=2x³+$\frac{5}{2}$x²+x存在唯一的实数根x₀，就把问题转化为求函数最值问题

解答 解：（1）当a=-2时，函数f（x）=x³+$\frac{5}{2}$x²-2x+b
则f′（x）=3x²+5x-2=（3x-1）（x+2）
令f′（x）＜0，解得-2＜x＜$\frac{1}{3}$，
所以f（x）的单调递减区间为（-2，$\frac{1}{3}$）；
（2）函数f（x）的导函数为由于存在唯一的实数x₀，使得f（x₀）=x₀与f′（x₀）=0同时成立，
则$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{3}+\frac{5}{2}{x}^{2}+（a-1）x+b=0}\\{3{x}^{2}+5x+a=0}\end{array}\right.$即x³+$\frac{5}{2}$x²+（-3x²-5x-1）x+b=0存在唯一的实数根x₀，
故b=2x³+$\frac{5}{2}$x²+x存在唯一的实数根x₀，
令y=2x³+$\frac{5}{2}$x²+x，则y′=6x²+5x+1=（2x+1）（3x+1）=0，故x=-$\frac{1}{2}$或x=-$\frac{1}{3}$，
则函数y=2x³+$\frac{5}{2}$x²+x在（-∞，-$\frac{1}{2}$），（-$\frac{1}{3}$，+∞）上是增函数，在（-$\frac{1}{2}$，-$\frac{1}{3}$）上是减函数，
由于x=-$\frac{1}{2}$时，y=-$\frac{1}{8}$；x=-$\frac{1}{3}$时，y=-$\frac{7}{54}$；
故实数b的取值范围为：（-∞，-$\frac{7}{54}$）∪（-$\frac{1}{8}$，+∞）；

点评 本题以函数为载体，考查导数知识的运用，考查函数的单调性，同时还考查了方程根的问题，一般要转化为函数的最值来解决．