Question

17．设锐角三角形ABC的三内角为A，B，C所对的边分别为a，b，c，函数f（x）=cosxsin（x+$\frac{π}{6}$）-cos²x．
（Ⅰ）求f（A）的取值范围；
（Ⅱ）若f（A）=$\frac{1}{4}$，△ABC的面积为$\frac{\sqrt{3}}{4}$，求$\overrightarrow{AB}$•$\overrightarrow{AC}$的取值范围．

Answer 1

分析 （Ⅰ）利用三角函数恒等变换的应用化简函数解析式可得f（x）=$\frac{1}{2}$sin（2x-$\frac{π}{6}$）-$\frac{1}{4}$，结合范围A∈（0，$\frac{π}{2}$），可求2A-$\frac{π}{6}$∈（-$\frac{π}{6}$，$\frac{5π}{6}$），利用正弦函数的性质可求f（A）的取值范围；
（Ⅱ）由题意可得sin（2A-$\frac{π}{6}$）=1，结合范围2A-$\frac{π}{6}$∈（-$\frac{π}{6}$，$\frac{5π}{6}$），可求A，利用三角形面积公式可求bc的值，利用平面向量数量积的运算即可计算得解．

解答 （本题满分为14分）
解：（Ⅰ）f（x）=cosxsin（x+$\frac{π}{6}$）-cos²x
=cosx（$\frac{\sqrt{3}}{2}$sinx+$\frac{1}{2}$cosx）-$\frac{1+cos2x}{2}$
=$\frac{\sqrt{3}}{4}$sin2x+$\frac{1}{4}$（1+cos2x）-$\frac{1+cos2x}{2}$
=$\frac{\sqrt{3}}{4}$sin2x-$\frac{1}{4}$cos2x-$\frac{1}{4}$
=$\frac{1}{2}$sin（2x-$\frac{π}{6}$）-$\frac{1}{4}$，--------------------------6分
因为是锐角三角形，
所以A∈（0，$\frac{π}{2}$），
所以2A-$\frac{π}{6}$∈（-$\frac{π}{6}$，$\frac{5π}{6}$），
所以sin（2A-$\frac{π}{6}$）∈（-$\frac{1}{2}$，1]，
所以f（A）∈（-$\frac{1}{2}$，$\frac{1}{4}$]；----8分
（Ⅱ）因为f（A）=$\frac{1}{4}$，
所以sin（2A-$\frac{π}{6}$）=1，
又因为：2A-$\frac{π}{6}$∈（-$\frac{π}{6}$，$\frac{5π}{6}$），
所以：2A-$\frac{π}{6}$=$\frac{π}{2}$，即A=$\frac{π}{3}$．--------------------10分
又△ABC的面积为$\frac{\sqrt{3}}{4}$=$\frac{1}{2}$bcsinA，所以bc=1．-------------------12分
所以$\overrightarrow{AB}$•$\overrightarrow{AC}$=bccosA=$\frac{1}{2}$．------------------14分．

点评 本题主要考查了用三角函数恒等变换的应用，正弦函数的图象和性质，三角形面积公式，平面向量数量积的运算在解三角形中的应用，考查了数形结合思想和转化思想，属于中档题．